Билет 35. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Эрмитого разложение линейного оператора

Линейный оператор, называется самосопряженным, A = A*. В унитарном – эрмитовый, в евклидовом – симметрический. Квадратная матрица эрмитова, если A = A^H, а вественная симметрическая или вещественно-эрмитова.

1) Самосопряженный оператор нормален

2) Оператор самосопряжен тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе он имеет самосопряженную матрицу.

3) Определитель самосопряженного оператора вещественен

4) Если пространство инвариантно относительно самосопряженного оператора, то ортогональное его дополнение также инвариантно относительно него

5) Самосопряженный оператор на любом инвариантном подпространстве индуцирует самосопряженный оператор

Т Нормальный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве самосопряжен тогда и только тогда, когда все корни его характеристического многочлена вещественны (необходимость: для унитарного пространства это следует из того, что у сопряжения нормального оператора собственные значения являются сопряжением собственных значений исходного, а для евклидового пространства рассмотрим аналогичный оператор в комплексном и для него значения совпадут, достаточность: оператор нормален – есть базис собственных значений, по свойству линейного оператора Ax = (Add k= 1 to n)xiliei, A*x = Add(k = 1, n) xi!liei = Add(k=1, n)xiliei, A*= A).

Линейный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве называется косоэрмитовым (кососимметрическим), если A* = - A, квадратная матрица A = -A^H.

1) косоэрмитов (кососимметрический) оператор нормален

2) оператор косоэрмитов тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном базисе косоэрмитова

3) все собственные значения косоэрмитого оператора в унитарном пространстве – чисто мнимые (Ax = lx, -Ax=!lx, l = -!l), корни косоэрмитова и кососимметрического операторов – чисто мнимые

4) кососимметрический оператор не имеет собственных значений.

Т Для любого косоэрмитова оператора в унитарном пространстве существует эрмитов оператор такой, что A = iB (оператор нормален – есть базис собственных векторов, lk = ibk, Aek = ibkek, Bek = bkek).

Т Линейный оператор в унитарном (евклидовом) пр-ве может быть единственным образом представлен в виде суммы эрмитова (симметрического) и косоэрмитова (коссиметрического) операторов. (B = ½(A + A*) C = 1/2 (A – A*), B* = B, C*=C, для единственности рассмотреть выражение для сопряженного оператора). Можно записать С = iD.

Т Линейный оператор нормален тогда и только тогда, когда операторы в его эрмитовом разложении перестановочны (расписать A = B + C, A* =B – C, AA* = B^2 – BC + CB - C^2, A*A = B^2 –CB +BC – C^2).

Поиск по сайту: