Билет 27 Ортогональный оператор и его матрица в ортонормированном базисе

Линейный оператор φ над евклидовым пространством Е называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение, т.е. Е((х,у)=(φх,φу)).

Матрица А ортогонального оператора в некотором ортонормированном базисе называется также ортогональной и обладает там характерестическим свойством, что её обратная матрица совпадает с её транспонированной А^Т=А^-1.

Матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному является ортогональной.

Пусть ε=(е₁…е_n) и ε’ =(е’₁…е’_n)- ортонормированные базисы в Е, S= ,.Тогда по определению атрицы перехода столбцы матрицы S (и строки S^T) состоят из координат векторов из ε в базисе ε’. Докажем что S ортогональна, т.е. S^TS=E. Так как ε и ε’ – ортонормированны,то

S^TS= = =E, т.е.S^T=S^-1

Поиск по сайту: