Билет 24 Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогональных преобразований

Пусть А матрица квадратичной формы в старом ортонормированном базисе ε. Нам необходимо подобрать такую смену базиса чтобы в новом базисе ε’ матриа квадратичной формы стала диагональной т.е надо подобрать такую невырожденную матрицу S= , чтобы S^TAS=D=

Рассмотрим в пространстве Е_n линейный оператор φ такой что |φ|_E=A. Поскольку матрица А симметрична, оператор φ является самосопряженным.Для этого оператора сущетсвует ортонормированный базис из собственных векторов φ, который обозначает за ε’. Как нам известно, в базисе из собственных векторов матрица линейного оператора принимает диагональный вид, причём по диагонали стоят собственные значения оператора, т.е. для S= ,

S^-1AS= S – матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному и она является ортогональной.Для ортогональной матрицы S^T=S^-1 чтд

Таким образом для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо:

1) Записать матрицу А данной квадратичной формы Ф

2) Найти собтсвенные числа соответсвующего саосопряженного оператора φ т.е. решить характерестическое уравнение |A-γE|=0. Пусть γ₁,...,γ_n – собственные числа. Тогда и канонический вид квадратичной формы Ф будет следующий:

Ф(x₁’,…,x_n’)=γ₁(x₁’)²+…+ γ_n(x_n’)²

3) Найти собственные векторы оператора φ. Пусть это векторы а₁…а_n. Если все корни характерестического уравнения простые, то ти векторы образуют ортогональный базис в силу свойств самосопряженного оператора. Еси есть кратные корни то для собственных векторов, соответствующих одному собственному значению,птребуется провести процесс ортогонализации.

4) Из полученного ортогонального базиса сделать ортонормированный: е_i= . Это и будет искомый канонический базис.

Поиск по сайту: