|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Приклади
1) Кільце парних чисел є підкільцем кілець R, Q, C.2)Кільце матриць n-го порядку над полем Q є підкільцем кілець матриць n-го порядку над полями Q та С. Теор. Непорожня підмножина К1 кільця К буде підкільцем тоді і тільки тоді, коли а+b, а-b, а·b будь-яких двох елементів а і b підмножини К1 належали до К1. Озн.2. Елемент е1 кільця К називається правим одиничним елементом, якщо (***а)(а·е1=а) Озн.3. Елемент е2 кільця К називається лівим одиничним елементом, якщо (***а)(е2·а=а) Приклади. 1) Кільце перших чисел немає ні лівого ні правого одиничного елемента. 2) В кільці матриць другого порядку виду і а,bÎR відносно операцій множення та додавання матриць є безліч лівих одиничних елементів. Справді, будь-яка матр.виду: для кожного mÎR є лів. одиничн. ел-том. = , але ці матриці не будуть правими одиничними елементами, бо = . Якщо кільце К має і лівий одиничний елемент е1 і правий одиничний лемент е2, то вони співпадають. Справді, якщо е1 вважають лівим одиничним елементом, то е1·е2=е2. Аналогічно, якщо е2 вважають правим одиничним елементом, то е1·е2=е1. З цих двох рівностей випливає, що е1=е2. Озн.3. Елемент кільця К називається одиничним елементом, якщо (***а)(а·е=е·а=а). Озн.4. Ненульове кільце, яке містить одиничн. ел-т е, наз. кільцем з одиницею. Прикладами кілець з одиницею є кільця Q, R, C. Кільцями з одиницею будуть кільце матриць n-го порядку над полями Q, R, C. В цих кільцях одиничним елементом буде одинична матриця. Озн5. Елементи а і b кільця К наз. дільниками нуля, якщо а¹0 і b¹0, але а·b=0. а називають лівим дільником нуля, b називають правим дільником нуля. Приклади: 1. В кільці квадратних матриць другого порядку над полями R, Q, C матриці та будуть дільниками нуля, бо = . 2. В кільці неперервних функцій проміжку [-1, 1] відносно початкового додавання і множення дільниками нуля будуть функції 5. та , бо f1(х)·f2(х)=0. Озн 6. Комутативне кільце, в якому немає дільників нуля, називають областю цілісності. З означення кільця випливають такі основні властивості 1. (***а, b)(а+b=а Þ b=0), 2. (***а, b)(а+b=0 Þ b=-а), 3. (***а)(-(-а)=а), 4. (***а)(0·а=а·0=0), 5. (***а, b)((-а)·b=а·(-b)=-(а·b)), 6. (***а, b)((-а)·(-b)=а·b), 7. (***а, b,с)(а·(b-с)=а·b-а·с), 8. (***а, b,с)((а-b)·с=а·с-b·с). Доведемо, властивості 1,8. Якщо а+b=а, то b=0+b=(-а+а)+b=-а+(а+b)=-а+0=-а. З (5) і дистрибутивності множ. відносно дод.=> (а-b)с=(а+(-b)с=ас+(-b)с=а·с+(-b·с)=а·с-b·с. Озн 7. Відображення j: К1®К2 кільця К1 в кільце К2 називають гомоморфним відображенням або гомоморфізмом К1 в К2, якщо: (***а, b)(j(а+b)= j(а)+ j(b)) 8.(***а, b)(j(а·b)= j(а)·j(b)). Приклад. К-це матриць 2-го порядку над полем дійсних чисел гомоморфне к-цю дійсн. ч. R. Перевіркою вимог 1, 2 переконуємося, що є гомоморфізмом. Основними властивостями гомоморфізму є: 1. Якщо j є гомоморфізмом кільця К1 в кільце К2, то j(0)=01 2. Якщо j є гомоморфізмом кільця К1 в кільце К2, то (***а) (j(-а)= -j(а)). Доведення власт. 1, 2 аналогічні дов. відповідних властивостей гомоморфізму двох груп. Озн8. Взаємно однозначне відображення j кільця К1 на кільце К2 при якому: 1.( а, b)(j(а+b)= j(а)+ j(b)); 2.( а, b)(j(а·b)= j(а)·j(b)) називається ізоморфізмом к-ць К1 та К2. Самі к-ця К1 та К2 наз. при цьому ізоморфними. Приклад. Озн9. Скалярною матрицею над полем П називається матриця n-го порядку елементами головної діагоналі якої є одне і те саме число m, а решта елементів дорівнюють нулеві. Безпосередньою перевіркою переконуємося, що кільце скалярних матриць n-го порядку ізоморфне кільце дійсних чисел R. Ізоморфізмом при цьому буде j: ®n Як і при гоморфізмі кілець доводяться такі основні властивості ізоморфізму. Властивість 1. Якщо j ізоморфізм кільця К1 на кільце К2, то j(0)=01 Властивість 2. Якщо j ізоморфізм кільця К1 на кільце К2, то ( а) (j(-а)= -j(а)).
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.) |