|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Поле. Підполе. Приклади. Основні властивості полів. Поле дійсних чиселОзн.1. Мн-на Р, яка містить хоча б два різн. ел-ти, в якій введ.і дві бінарні операції “дод.” і “множ.” і вик-ся вимоги: 1) ( а, b)(а+b=b+а); 4) ( а, b, с)((а+b)+с=а+(b+с)); 5) ( а, b) (існує х є Р)(а+х=b); 6) ( а, b)(а·b=b·а); 7) ( а, b, с)((а·b)·с=(а·(b·с)); 8) ( а, b, с)(а·(b+с)=а·b+а·с); 9) ( а#q)( b)(існує х є Р) (а·х=b). наз. полем. Озн. 2. Підмножина Р1 поля Р називається підполем поля Р, якщо вона сама є полем відносно тих самих операцій “додавання” і “множення” поля Р. Прикл.1).. Множини Q, R, C відносно операцій додавання і множення утворюють поля. 2) Множина чисел виду а+b , а,bÎQ відносно операцій додавання і множення утворює поле. 3). Поле Q, R є підполем поля С. 4) Поле Q є підполем поля R. 5) Множина матриць виду , а,bÎQ відносно операції додавання і множення матриць утворює поле. З означення поля випливають такі основні властивості: 1) У кожному полі існує і притому єдиний нульовий елемент. Дов. Нехай аÎР. Згідно вимоги 3 поля, рівняння а+n=а має розв’язок n. Якщо b – будь-який інший елемент поля Р, то рівняння а+n=b також має розв’язок m. Тоді b+n=(a+m)+n=(m+a)+n=m+(a+n)=m+a=a+m=b. Тобто, b+n=n+b=b. Доведемо, що нульовий елемент єдиний методом від супротивного, використовуючи модифікацію АÞВ º АÙ ÞВ Нехай q1 і q2 різні нульові елементи. Тоді q1 + q2=q1, якщо вважати q2 за нульовий елемент q1 + q2=q2, якщо вважати q1 за нульовий елемент. З цих двох співвідношень випливає, що q1=q2. Озн. 3. Елемент е поля Р називається одиничним, якщо ( а)(а·е=е·а=а). 2) У кожному полі існує і притому єдиний одиничний ел-т. Дов. власт. 2 анал. дов. власт.і 1. 3) Кожний елемент аÎР має і притому єдиний протилежний елемент –а. Дов. Згідно з вимогою 3 поля Р рівняння а+х=q має розв’язок хÎР, який і буде протилежним елементом до а. Єдиність доведемо методом від супротивного, використовуючи ту ж саму модифікацію, що і у доведенні властивості 1. Нехай у, х різні протилежні елементи до елемента а. Тоді х=х+q=х+(а+у)=(х+а)у=q+у=у, що і треба було довести 4) Кожний елемент а¹q поля Р має єдиний обернений елемент а. Доведення аналогічне доведенню властивості 3. 5) Поле Р не має дільників нуля. Доведення. Нехай а¹q, але а·b=q. Оскільки а¹q, то існує єдиний обернений елемент а-1. Помножимо рівність а·b=q на а-1. Отримаємо в=q. Тобто, якщо добуток елементів дорівнює нульовому елементу, то принаймні один з множників відмінний від q. Серед інших властивостей відмітимо: 1. Якщо а+b=а+с, то b=с Означення 4. Різницею b-а елементів b та а називається такий елемент хÎР, для якого виконується рівність а+х=b. Таким чином, 1) а+(b-а)=(b-а)+b.а-а=0, 0-а=-а. 2) ( а,b)(а-b=а+(-b)); 3) ( а, b, с)((а-b)·с=а·с-b·с) Означення 5. Множина П, яка містить принаймні два різних елементи, в якій визначена властивість елементів “бути додатними” (>0) і визначені дві бінарні операції “додавання”(+) та “множення” (·) і виконуються вимоги: 1) ( а,b)(а+b=b+а); 2) ( а,b,с)((а+b)+с=а+(b+с)); 3) ( а,b)(існ.х)(а+х=b); 4) ( а,b)(а·b=b·а); 5) ( а,b,с)((а·b)·с=а·(b·с)); 6) ( а,b,с)((а·(b+с)=а·b+а·с); 7) ( а¹q)("b)($х)(а·х=b); 8) Для кожного елемента аÎП виконується одне і тільки одне з співвідношень: а=q Ú а>0 Ú -а>0; 9) ( а,b)(а>qÙb>qÞа+b>qÙа·b>q) Вважатимемо, що а>b Û а-b>q; 10) Аксіома Архімеда ( а)( b>q)(існ. n є N)(n·b>а) 11) Аксіома повноти. Будь-яка фундаментальна послідовність {an} елементів з П має границю в П називається полем дійсних чисел, а самі елементи поля П – дійсними числами. Озн. 6. Посл. {an} ел-тів поля П наз. фундаментальною, якщо для будь-якого елемента e>q із П існує таке натуральне число na (залежне від а), що ½ap - aq½<e для всіх р, q більших від na. Озн.7. Поле називається розташованим, якщо виконуються аксіоми 8, 9. Озн. 8. Розташ. поле в якому викон. аксіома Архімеда наз. архімедовим розташованим полем. Озн.9. Розташ. поле наз. повним, якщо кожна фундаментальна посл. є збіжною в цьому полі. Якщо врахувати наведені вище означення, то означити поле дійсних чисел можна так. Озн. 10. Повне розташ. архім. поле, яке містить у собі підп. рац. чисел Q наз. п-ем дійсн. чис.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |