Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел

Запись комплексного числа z=a+bi, называется алгебраической формой записи комплексного числа. Часто бывает удобна немного другая форма записи комплексного числа. Пусть и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

Отсюда получается

Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.

35. Корнем n -ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n -я степень которого равна подкоренному числу.

Из этого определения следует, что из равенства следует равенство .

Из равенства комплексных чисел следует , а аргументы отличаются на число, кратное ; . Отсюда , . Здесь есть арифметическое значение корня, а k – любое целое число. Таким образом, получается формула
.

В этой формуле число k может принимать всевозможные целые значения, но различных значений корня будет только n и они соответствуют значениям k = 0, 1, 2, …, n - 1. Вывод: корень n -ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. Исключением из этого правила является лишь частный случай, когда извлекается корень из нуля. В этом случае все значения корня равны нулю.

36.Линейные модели обмена. Простая модель обмена. Пусть имеется система n отраслей производства , , каждая из которых выпускает продукцию одного вида. Примем за единицу объем продукции каждой отрасли в рассматриваемом периоде. Обозначим через долю продукции отрасли , которая поступает в отрасль . Будем считать, что обмен продукцией происходит только внутри системы (система замкнута), т.е. = 1 (j = ) (1).Рассмотрим матрицу коэффициентов :А = , где 0 (i = , j = ).Матрица А со свойством (1), в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется матрицей обмена.Требуется установить такие цены на продукцию каждой отрасли, при которых вся система находится в равновесии, т.е. ни одна отрасль не обогащается за счет другой.Пусть – цена одной единицы продукции отрасли , а х = (, , …, ) – вектор цен. Тогда расход отрасли , т.е. стоимость всей закупаемой ею продукции определяется как

. Чтобы отрасль могла развиваться, ее расход не должен превышать дохода, который равен стоимости произведенной ею продукции, т.е. :

(i = ). (2)

Если искомые равновесные цены существуют, то система неравенств (2) выполняется для них как система равенств:

(3)

Если вектор цен х представить в виде матрицы Х = , то систему (3) можно записать в матричной форме АХ = Х. (4)

Матричное уравнение (4) означает, что собственный вектор матрицы обмена А, отвечающий ее собственному значению = 1, представляет собой искомый вектор равновесных цен. Уравнение (4) можно переписать в виде, позволяющем определить Х:

(А - Е)Х = 0.

37.Линейные модели обмена. Модель международной торговли.

Пусть имеется система n стран , бюджет каждой из которых равен соответственно , , …, . Обозначим через долю бюджета , которую страна тратит на закупку товаров у страны . Будем считать, что весь бюджет расходуется на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран (система замкнута), т.е.

= 1 (j = ). (5)

Рассмотрим матрицу коэффициентов :

A = ,

где 0 (i = , j = ).

Матрица А со свойством (5) называется структурной матрицей торговли.

Требуется найти вектор бюджетов стран х = (, , …, ), обеспечивающей равновесие всей системы, при котором отсутствует значительный дефицит торгового баланса для каждой из стран-участниц.

Для любой страны (i = ) выручка от внешней и внутренней торговли определяется как

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е.

(i = ). (6)

Если искомые бездефицитные бюджеты существуют, то система неравенств (6) выполняется для них как система равенств:

Данную систему можно записать в матричной форме

АХ = Х или (А - Е)Х = 0, (7)

где Х = . Матричное уравнение (7) означает, что собственный вектор структурной матрицы торговли А, отвечающий ее собственному значению = 1, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.

Поиск по сайту: