Теорема Безу. НОД многочленов и алгоритм Евклида

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена P(x) на двучлен (x-a) равен P(a).
Теорема Безу. Если многочлен разделить на двучлен x - a,
то в остатке получим число R, равное значению данного многочлена при x = a, т. е. R = Pn(a).
Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей
(например, в поле вещественных или комплексных чисел).
Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.
Алгоритм Евклида — алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.
Описание алгоритма нахождения НОД делением:
1.Большее число делим на меньшее.
2.Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД (следует выйти из цикла).
3.Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления.
4.Переходим к пункту 1.

32.Комплексным числом называется число вида z= x +iy, где x и y – дей-ствительные числа. i-это мнимая единица, (под корнем -1), т. Е. корень уравнения z^2+1=0 1. суммой комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число z вида

z = (x ₁ + x ₂, y ₁ + y ₂);

· произведением комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число

z = (x ₁ x ₂ - y ₁ y ₂, x ₁ y ₂ + x ₂ y ₁);множество комплексных чисел , отождествляется с множеством действительных чисел R.

· Разностью комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число z такое, что z ₂ + z = z ₁, откуда находим z = z ₁ - z ₂ = (x ₁ - x ₂, y ₁ - y ₂).

· Частным комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число z такое, что . Отсюда находим

· Комплексное число (0, 1) обозначается символом i = (0, 1). Тогда . Произвольное комплексное число z можно записать в виде

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy. Эта запись называется алгебраической формой комплексного числа.

· Комплексное число называется сопряженным по отношению к комплексному числу z = (x, y) = x + iy.

· Существует элемент i (мнимая единица) такой, что i² = – 1.

· Символ a + bi называют комплексным числом с действительной частью a и мнимой частью bi, где a и b – действительные числа, b – коэффициент мнимой части.

· Комплексное число a + 0i отождествляется с действительным числом a, т.е. a + 0i = a, в частности, 0 + 0i = 0. Числа вида bi (b  0) называют чисто мнимыми.Например, комплексное число 2 + 3i имеет действительную часть – действительное число 2 и мнимую часть 3i, действительное число 3 – коэффициент мнимой части.Комплексное число 2 – 3i имеет действительную часть число 2, мнимую часть – 3i, число – 3 – коэффициент при мнимой части.

· Правило равенства. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей. Т.е., если a + bi = c +di, то a = c, b = d: и, обратно, если a = c, b = d, то a + bi = c +di.

33. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy - мнимой. Модуль числа z определяет расстояние r от нуля до точки z, т. е. длину радиус вектора r=__________. Это расстояние называется модулем и обозначают:

Угол φ между осью абсцисс и вектором OM, изображающим комплексное число a + b·i, называется аргументом комплексного числа a + b·i

Поиск по сайту: