Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы

С помощью элементарных преобразований

4. Решение матричных уравнений вида АХ=В, ХА=В.

В матричной форме система имеет вид: АХ=В, где А- матрица, состоящая из коэффициентов системы, В-матрица размера m*n, Х- неизвестная матрица. С помощью обратной матрицы можно найти решения следующих матричных уравнений:

АХ=В, решение:

ХС=В, решение:

АХС=В, решение:

5. Определители и их свойства: Определителем 2-го порядка наз. Число, определяемое равенством:

Где а ij- элемент определителя, i- номер строки, j- номер столбца.

Определителем 3-го порядка наз. Число, обозначаемое символом:

Свойства:

· Величина определителя не изменится, если заменить его строки соответствующими столбцами.

· При перестановке местами двух строк или столбцов, знак определителя изменится на противоположный.

· Если две строки или столбца определителя равны или пропорциональны, то опр-ль равен 0.

· Общий множитель элементов некоторой строки (столбца) можно выносить за знак опр-ля.

· Если все элементы строки (столбца) равны нулю, то и опр-ль равен 0

· Величина опр-ля не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

· Если все элементы какой-либо строки (столбца) представлены в виде суммы 2-ух слагаемых, то опр-ль можно представить в виде суммы 2-ух опред-лей.

· Если все элементы некоторой строки умножить на некое число, то сам опр-ль умножится на это число.

6. Непосредственное вычисление определителей второго и третьего порядка:

Опр-ль 2-го порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Опр-ль 3-го порядка можно разложить по элементам какой-либо строки (столбца), умножив их на соответствующие алгебраические дополнения. Таким образом, можно перейти к определителям 2-го порядка. Также, вычислить опр-ль 3-го порядка можно по правилу треугольника.

Формула разложения определителя по строкам и столбцам. Теорема Лапласа.

Det A=

Теорема Лапласа: Сумма попарных произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения равна определителю, а сумма попарных произведений элементов строки на алг. дополнения другой строки равна 0.

Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы.

Ранг- число линейно независимых строк матрицы; наивысший порядок, отличных от 0 миноров этой матрицы. Алгоритм выч-ния ранга окаймления миноров:

· Найти ненулевой элемент

· Вычислить миноры 2-го порядка, которые окаймляют выбранный элемент.

· Если среди вычисленных миноров 2-го порядка имеется отличный от 0, необходимо рассмотреть все миноры 3-го порядка, окаймляющие какой-нибудь минор 2-го порядка не равный 0. Продолжать так до тех пор, пока все миноры, окаймляющие ненулевой минор катого порядка не будут равны 0.

Для вычисления ранга матрицы можно её предварительно упростить ёё с помощью элементарных преобразований и привести к ступенчатой форме. Тогда ранг матрицы будет равен числу элементов, стоящих на главной диагонали.

Поиск по сайту: