Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду

1. записываем матрицу оператора A в исходном базисе;

2. записываем характеристическое уравнение и вычисляем его корни;

3. находим собственный базис оператора (если он существует);

4. записываем матрицу C, столбцами которой являются координаты собственных векторов (векторов собственного базиса)

5. по формуле C^-1AC находим диагональную форму матриц оператора — матрицу оператора в собственном базисе.

26.Определение квадратичной формы.

Квадратичная форма переменных - функция

Где аij- коэффициенты квадр. Формы удовлетворяют условию: аij=aji. В пространстве квадаратичную форму можно представить в виде где f - линейный самосопряженный оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе равна A. В пространстве V_n квадратичную форму можно записать в виде где X - координатный столбец вектора

27.Линейное преобразование переменной. Переход от системы n переменных у1,у2,…,уn, к систем n переменных х1,х2,..,хn по формулам: Где рi- принадлежит R (i=1n), наз. линейным преобразованием переменных у,1..,уn в переменные х1,.,хn. Если Х=;Y=, то линейное преобразование переменных (1) можно записать в виде Х=РY (2), где матрица Р=(Рij)nn наз. матрицей линейного преобразования. Есл Р-невырожденная матрица, т. Е. определитель не равен 0, то преобразование (2) наз. невырожденным. В этом случае существует обратное преобразование переменных х1…хn в переменные у1…уn: Y=P^-1*X. Если определитель матрицы Р равен 0, то преобразование наз. вырожденным.Две квадратичные формы f и g наз. эквивалентными, если одна из них переводится в другую посредством невырожденного лин. преобразования. Обозначение (f-g).

28. Канонический вид квадратичной формы. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду. Если квадратичная форма в некотором базисе имеет вид То говорят, что она записана в этом базисе в канонической форме. Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть

есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:1.хотя бы один из коэффициентов при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

2.все коэффициенты , но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет ).В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

, где

, а через обозначены все остальные слагаемые.

представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных .

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что Второй случай заменой переменных сводится к первому.

29.Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. Классификация квадратичных форм. Для действительной квадратичной формы где r = rank A. Для комплексной квадратичной формы r = rank A. Для действительных квадратичных форм имеет место закон инерции квадратичных форм: число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к нормальному виду с помощью невырожденных линейных преобразований.
Классификация действительных квадратичных форм
Положительно-определенные
Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид Квадратичная форма является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны (критерий Сильвестра). Отрицательно-определенные Квадратичные формы, для которых таких,что Нормальный вид Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда
Положительно-полуопределенные
Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид r < n, r = rank A. Отрицательно-полуопределенные Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид r < n, r = rank A. Неопределенные
Квадратичные формы, которые принимают как положительные, так и отрицательные значения. Нормальный вид: r = rank A.

30./ Схема ГорнераТеорема: Пусть несократимая дробь qp является корнем уравнения a 0 xn + a 1 xn −1+ + an −1 x + an =0 c целыми коэффициентами, тогда число q является делителем старшего коэффициента a 0, а число р является делителем свободного члена an. Замечание 1. Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена. Замечание 2. Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни, если они существуют - целые. Корень многочлена. Корнем многочлена f (x)= a 0 xn + a 1 xn −1+ + an −1 x + an является x = c, такое, что f(c)=0. Замечание 3. Если x = c корень многочлена f (x)= a 0 xn + a 1 xn −1+ + an −1 x + an, то многочлен можно записать в виде: f (x)=(x − c) q (x), где q (x)= b 0 xn −1+ b 1 xn −2+ + bn −2 x + bn −1 это частное от деления многочлена f(x) на одночлен x – c

Деление многочлена на одночлен можно выполнить по схеме Горнера:

Если f (x)= a 0 xn + a 1 xn −1+ + an −1 x + an, a 0 =0, g (x)= x − c, то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид q (x)= b 0 xn −1+ b 1 xn −2+ + bn −2 x + bn −1, где b 0= a 0, bk = c bk −1+ ak, k =1 2 n −1. Остаток r находится по формуле r = c bn −1+ an

	a 0	a 1	a 2	...	an −1	an
x = c	b 0= a 0	b 1= c b 0+ a 1	b 2= c b 1+ a 2	...	bn −1= c bn −2+ an −1	r = f (c)= c bn −1+ an

В первой строке этой таблицы записывают коэффициенты многочлена f(х). Если какаятостепень переменной отсутствует, то в соответствующей клетке таблицы пишется 0. Всегда старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого b 0= a 0. Если x = c является корнем многочлена, то в последней клетке получается 0, т.е. остаток от деления будет равен нулю.

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |

Поиск по сайту:

---