Системы линейных алгебраических уравнений

Линейным уравнением относительно неизвестных х1, х2,..,хn называется выражение вида: а1х1+а2х2+…+аnхn=b.

Системой лин. уравнений с n неизвестными называется конечная совокупность линейных уравнений относительно неизвестных х1, х2, х,…,хn.

Решением системы 1 называется такая совокупность чисел, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства.

Система уравнений наз. совместной, если она имеет хотя бы 1 решение и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система наз. определённой, если она имеет ед. решение, и неопределённой, если она имеет бол свободных опреее одного решения. В последнем случае каждое её решение наз. частным решением системы. Совокупность частных решений наз. общим решением.

Две системы наз. равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

При вычёркивании тривиальных уравнений (в которых все члены равны 0) в системе получим систему, эквивалентную исходной. Система, содержащая противоречивые уравнения () называется несовместной.

10. Метод последовательного исключения неизвестных (Метод Гаусса): Суть данного метода заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида. (Прямой ход), из которой последовательно, начиная с последних по номеру неизвестных, находятся все остальные неизвестные (обратный ход). Элементарные преобразования удобнее выполнять не над уравнениями системы, а над строками её расширенной матрицы.

r- ранг, n-число неизвестных. Обратный ход:

· Если r=n, то система имеет единственное решение

· Если r меньше n, то исходная система имеет множество решений (число главных неизвестных равно рангу системы, а число свободных определяется по формуле

n-r.

11. Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера:

Если в системе n линейных уравнений с n- неизвестными, определитель системы отличен от 0, то система совместна и имеет ед. решение, определяемое по формулам Крамера:

Хi=дельта хi/дельта, где дельта хi- определитель, полученный из определителя, с заменой i-столбца, столбцом свободных членов.

12. Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы: Решение системы линейных уравнений по матричному методу определяется равенством: Х=, другими словами, решение находится с помощью обратной матрицы А(в минус первой). Систему n линейных уравнений с n неизвестными можно решать матричным методом только тогда, когда определитель основной матрицы отличен от 0.

13. Теорема Кронекера- Капелли: Система линейных алг. уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет ед. решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное мн-во решений, если ранг меньше числа неизвестных.

14. Однородные системы уравнений. Алгоритм построения фундаментальной системы решений. Одн. с. ур.- называется система лин. уравнений, во всех уравнениях которой свободные члены равны 0. Одн- ная система ур- ний всегда совместна, т. К. х1=х2=х3=хn=0 является её решением. Это решение называется нулевым или тривиальным.

· Т.1 Для того, чтобы однор. система имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг её осн. матрицы был меньше числа неизвестных.

· Сл.1 Если число ур- ний меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевые решения.

· Сл.2 Если в однор. с -ме число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевые решения, только тогда, когда опр-ль матрицы системы равен 0.

Алгоритм:

1. Найти общее решение однородной системы

2. Взять любой ненулевой определитель порядка n-r, где r- ранг, а n-число переменных. Для простоты можно взять определитель ед. матрицы.

3. Подставить в общее решение вместо свободных неизвестных элементы 1 строки опр-ля и найти значения неизвестных. Полученная совокупность значений является решением х1. Аналогично, с помощью 2-ой и 3-ей сторк опр-ля нати соответствующие решения х2, х3. Полученные решения составляют фундаментальную систему решений.

Поиск по сайту: