Приклади. 1. Мультиплікативна група G1 неособливих матриць n-го порядку гомоморфна мультиплікат

1. Мультиплікативна група G₁ неособливих матриць n-го порядку гомоморфна мультиплікат. гр. дійсних чисел відмінних від нуля. Справді, згідно теореми про визначник добутку матриць відповідність j: А ® det А буде гоморфізмом.

2. Мультиплікативна група підстановок 3-го степеня гоморфна мультиплікативній групі {1, -1}.

Справді, співставивши парним підстановкам +1, а непарним –1, отримуємо гомоморфізм.

Властивості ізоморфізму та гомоморфізму групи.

1. При ізоморфізмі (гомоморфізмі) j образ нейтрального елемента еÎG є нейтральним елементом е₁ÎG₁.

Дов. Для кожного елемента а j(а)= j(а*е)= j(а)* j(е) або

(j(а))^-1*j(а)=((j(а)^-1*j(а) j(е). Звідси слідує j(е)=е₁.

2. Для кожного елемента аÎG образ j(а^-1) оберненого елемента є оберненим елементом (j (а))^-1 до образа j(а) елемента а.

Дов. Позначимо через е₁ нейтральний елемент групи G₁. Тоді

е₁= j(е)= j(а*а^-1)= j(а)* j(а^-1). Звідси слідує, що j(а^-1)=(j(а))^-1.

Озн. 2. Група G, яка співпадає з однією із своїх циклічних груп називається циклічною групою.

5.Кільце. Підкільце. Приклади кілець. Найпростіші власт. кілець. Ізоморфізми та гомоморфізми к-ць.

Непорожня множина К, в якій визначено дві бінарні операції “додавання” і “множення” і виконуються вимоги (((( далізапис. як ***)))):

1) ( а, b, с)(а+b=b+а); 2) (***а, b, с)((а+b)+с=а+(b+с)); 3) ()(***а)(а+q=а), q - нульовий елемент; 4) (***а)(існ.(-а) є К)(а+(-а)= q; 5) (***а, b, с)((а·(b·с=(а·b)·с); 6) (***а, b, с)(а·(b+с)=а·b+а·с); 7) (***а, b, с)(а+b·с=а·с+b·с). наз. кільцем.

Відносно опер. дод. кільце К є абел. гр-ю, а тому кільце К це абелева група відносно дод., відносно множ. асоціативна і пов’язана дистрибутивними законами відносно дод.Якщо операція множ. є комутат. то кільце К наз. комутативним. Приклади:

1.Мн-а цілих чисел – комутативне к-це відносно арифм. оп-ій дод. і множ..

2.Мн-а парних чисел – комут. к-це відносно арифм. операцій дод. і множ.

3.Мн-а рац. чисел Q відносно арифм. оп. дод. і множ. є комут. кільцем

4.Мн-а дійсн. чисел R є комутативним к-цем відносно оп. дод. і множення.

6.Некомут. к-цем є к-це квадр. матриць n-го пор. відн. дод. і множ. матр. над п-ми Q, R, C.

Озн.2. Підмножина К₁ кільця к називається підкільцем кільця К, якщо К₁ є кільцем відносно операцій додавання і множення, які визначені в кільці К.

Поиск по сайту: