Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Канонічний розклад многочленна над полем комплексних чисел та його єдиність

Поле розкладу для будь-якого многочлена над полем (комплексних чисел) є саме поле , тобто в полі комплексних чисел будь-який многочлен розкладається на лінійні множники. Поле алгебраїчно замкнуте і є єдиним числовим полем, яке має цю фундаментальну властивість.

Т. Кожний многочлен степеня з дійсними коефіцієнтами має принаймні один комплексний корінь.

Розклад многочленна.

Т.1. Кожний многочлен, степінь якого вищий за 1, звідний у полі комплексних чисел.

Т.2. Кожний многочлен n -го степеня над полем єдиним способом розкладається на лінійні множники в цьому полі, (1), де – корені, – старший коефіцієнт многочлена .

Доведення. Кожний многочлен над полем можна розкласти у добуток незвідних многочленів у цьому полі, причому ці многочлени визначаються однозначно з точністю до сталого множника: . Але в полі комплексних чисел кожний незвідний многочлен має перший степінь. Отже, число множників повинно дорівнювати степеню даного многочлена і кожний з них є лінійним двочленом. Далі, оскільки визначаються з точністю до сталого множника, вважатимемо, що в кожному з них старший коефіцієнт дорівнює одиниці, тобто . Тоді може відрізнятися від добутку всіх лише сталим множником, тобто: .

Але легко бачити, порівнюючи старші коефіцієнти в обох частинах цієї рівності, що . Далі, є коренями многочленна , бо . Тому ці числа позначимо через . Таким чином, замінюючи A через і через , дістаємо шуканий розклад (1). Оскільки сталі множники для незвідних многочленів тут цілком визначені, то розклад (1) однозначний з точністю до порядку множників. Теорему доведено.

З розкладу (1) випливає, що жодне комплексне число, відмінне від чисел , не може бути коренем многочлена .

Оскільки під числом коренів многочлена в даному полі розуміють число лінійних множників многочлена в цьому полі, то переконуємось у справедливості такого твердження:

Т.3. Многочлен n- го степеня має в полі комплексних чисел точно n коренів.

Ми бачимо також, що всі корені многочлена над полем C комплексних чисел належать цьому самому полю C, тобто полем розкладу будь-якого многочлена з комплексними коефіцієнтами є поле C комплексних чисел.

Отже, поле C комплексних чисел є алгебраїчно замкнутим.

Многочлени з дійсними коефіцієнтами. Спряженість уявних коренів таких многочленів. Незвідні над полем дійсних чисел многочлени та канонічний розклад многочленів над полем дійсних чисел.

Многочлен виду (1), де – дійсні числа наз. многочленом з дійсними коефіцієнтами.

Т.1. Якщо комплексне число є коренем многочленна , то спряжене комплексне число також є коренем цього многочлена.

Доведення. Обчислимо значення відокремивши дійсну і уявну частини, матимемо:

(2).

Але є коренем (1), тому , звідки .

Обчислимо тепер вираз . Через те, що всі коефіцієнти – дійсні числа, то і тому (3).

Порівнюючи (2) і (3) бачимо, що можна дістати з в результаті заміни всіх чисел спряженими. Оскільки над цими числами виконується лише дії додавання і множення, то на підставі властивостей комплексних чисел і є спряжені комплексні числа, тобто . Але ми вже показали, що A=B=0. Отже, , тому є коренем даного рівняння.

Т.2. Якщо комплексне число є коренем k -ї кратності многочленна з дійсними коефіцієнтами, то спряжене комплексне число є коренем многочленна тієї ж кратності k.

Т. Кожний многочлен над полем дійсних чисел допускає єдиний розклад на незвідні множники в цьому полі виду: .

Доведення. Як відомо з теорії подільності многочленів для у полі дійсних чисел можливий розклад виду (4), причому – незвідні у полі R многочлени, які визначаються з точністю до сталого множника. Якщо поставити вимогу, що старші коефіцієнти цих многочленів дорівнює 1, то вони визначатимуться однозначно.

є многочленами не вище 2-го сепеня. Припустимо, що є множники 1-го степеня, а – незвідні множники 2-го степеня, тоді (4) матиме вигляд:

A дорівнює старшому коефіцієнту , а – його дійсні корені . Отже цей розклад збігається з формулою в умові теореми.

29. Многочлени над полем раціональних чисел. Цілі і раціональні корені многочленна з цілими коефіцієнтами. Незвідні над полем раціональних чисел многочлени.

Наявність рац. коренів у довільно взятого алгебраїчного рівняння явище досить рідкісне.

Якщо многочлен над полем рац. чисел , або ж це те ж саме, що рівняння з рац. коефіцієнтами має рац. корені, то часто ці корені знаходяться досить просто .

Незвідність.

Т.1. Для того, щоб був звідний у полі Q рац. чисел, необхідно і достатньо, щоб він був звідним у кільці Z цілих чисел, тобто, щоб існували многочлени і ненульового степеня з цілими коефіцієнтами такі, що .

Т.2. (Ейзенштейна). Якщо в многочленні коефіцієнти діляться на деяке просте число причому не ділиться на , а старший коефіцієнт не ділиться на , то многочлен незвідний у полі рац. чисел.

Т.3. Якщо многочлен , степінь якого більше 1, має хоча б один рац. корінь r, то звідний у полі рац. чисел.

Т.4. У кільці многочленів над полем рац. чисел є многочлен довільного степеня, незвідні у полі Q.

Т.5. Якщо многочлен 3-го степеня не має рац. коренів, то він незвідний у полі рац. чисел.

Доведення. Припустимо супротивне. Нехай , де і – многочлени ненульового степеня з кільця . Оскільки сума степенів дорівнює 3, то один з них обов’язково має степінь один, другий – два.

Нехай – 1-го степеня з рац. коефіцієнтом, , але тоді число є рац. коренем многочлена , а тому й многочлена . Звідси випливає, що має рац. корені, що суперечить умові.

Поиск по сайту: