III. Базисный минор

Пусть ранг матрицы А равен r: r(A)=r. Всякий отличный от нуля минор порядка r называется базисным. Строки и столбцы выбранного базисного минора называются базисными. Матрица может иметь несколько базисных миноров.

§6. Системы m линейных уравнений с n неизвестными.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными.

(1)

A= – матрица системы, X= – матрица-столбец неизвестных, B= – матрица-столбец свободных членов.

() – запись системы в матричном виде.

Если , то система называется однородной.

Если , то система называется неоднородной.

Опр. Решением системы называется всякая совокупность n чисел х_1…, х_n, которая будучи подставлена в систему, превращает каждое ее уравнение в тождество.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение называется совместно й. Если решение единственное, то система называется определенной, если более одного решения, то неопределенной.

Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной.

Рассмотрим матрицу из коэффициентов при неизвестных

А = – матрица системы

Дополним ее столбцом свободных членов

= – расширенная матрица.

Теорема Кронекера-Капелли.

(Л.Кронекер 1823-1891г. Немецкий математик.

А.Капелли 1855-1910г. Итальянский математик).

Для того чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Система совместна r (A) = r(). Без доказательства.

Следствие. Если r(A) система несовместна.

r(A)=r – ранг матрицы системы

r() – ранг расширенной матрицы

n – число неизвестных

r(A) = r() = r r(A)

система совместна система несовместна,

нет решений

r=n

единственное бесконечное

решение множество

решений

r – базисн. неизв.

(n-r) – своб. неизв.

Поиск по сайту: