Пример 3.3. II. Свойства определителей (на примере определителя третьего порядка)

II. Свойства определителей (на примере определителя третьего порядка)

1. При замене строк столбцами величина определителя не меняется (при транспонировании матрицы ее определитель не меняется)

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

Например:

3. Если в определителе имеются две одинаковые строки (столбца), то определитель равен нулю.

4. Общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

6. Если элементы одной строки (столбца) пропорциональны элементам другой, то определитель равен нулю.

Доказательство: коэффициент пропорциональности выносим за знак определителя, получим определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), по свойству 3 определитель равен нулю.

7. Если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число, то величина определителя не изменится.

III. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема разложения определителя по элементам строки (столбца)

Рассмотрим определитель третьего порядка .

Если из определителя вычеркнуть одну строку и один столбец, на пересечении которых находится некоторый элемент а_ij, то получим определитель второго порядка, который называется минором определителя , соответствующим элементу а_ij и обозначается M_ij.

Например, ,

Опр. Алгебраическим дополнением элемента а_ij называется минор этого элемента, умноженный на и обозначается А_ij.

Пример: ,

Итак, если i + j – четно, то , если i + j – нечетно, то .

Теорема разложения. Определитель третьего порядка равен сумме парных произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Например, разложение определителя по первой строке:

Замечание. Знаки, которые приписываются минору соответствующего элемента определителя:

Поиск по сайту: