Базис векторного пространства

Определение. Совокупность n линейно независимых векторов пространства R_n называется его базисом. Согласно определению n мерного векторного пространства R_n в нем существует n линейно независимых векторов, т.е. существует базис.

Теорема. Каждый вектор векторного пространства можно представить, и притом единственным образом как линейную комбинацию векторов базиса.

Доказательство. Пусть, векторы образуют базис в R_n. Присоединим к ним произвольный вектор из R_n. Так как каждая система из (n+1) векторов пространства R_n линейно зависима, то линейно зависима и система , т.е. существуют такие не равные одновременно нулю числа что

(5.3.1)

При этом , так как иначе из формулы (5.3.1) следовала бы линейная зависимость векторов . Выражая из (5.3.1) вектор , получим

Полагая , , будем иметь

Данное представление вектора через векторы единственно, так как если и , то . Ввиду линейной независимости векторов , , откуда .

Таким образом, если в n -мерном векторном пространстве R_n задан базис , то, используя выражение можно установить взаимно однозначное соответствие между векторами этого пространства и упорядоченными последовательностями из n чисел . Числа будем называть координатами вектора в базисе и будем писать . Из приведенной теоремы следует, что два вектора и в R_n равны тогда и только тогда, когда их координаты в базисе равны, т.е. когда .

Рассмотрим действия над векторами в координатной форме.

Пусть в пространстве R_n задан базис . Так как любой вектор из R_n можно представить, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е.

,

то на основании аксиом, которым удовлетворяют операции сложения и умножения на число, имеем

,

.

Отсюда следует, что если векторы пространства R_n, заданы своими координатами относительно некоторого базиса , то при сложении векторов или умножении их на число координаты векторов соответственно складываются или умножаются на . Таким образом,

,

и если

где

,

,

…………………….

,

,

то

,

,

………………………………..

.

У нулевого вектора все координата равны нулю, так как из равенства ввиду линейной независимости векторов , вытекает, что . Вектор, противоположный к равен так как .

Примеры.

1. Для случая трехмерного пространства R₃ определение координат вектора совпадает с имеющимся в аналитической геометрии определением координат вектора в некоторой системе координат.

2. Пусть R_n – пространство, векторами которого являются упорядоченные системы из n чисел.

Очевидно, что n векторов

,

,

………………..

,

образуют базис этого пространства. Найдем координаты вектора в этом базисе:

Отсюда следует, что числа можно рассматривать как координаты вектора в базисе пространства .

3. – пространство, векторами которого являются многочлены степени меньшей либо равной (). Простейшим базисом является совокупность векторов . Тогда координатами многочлена в этом базисе являются его коэффициенты . Выберем другой базис: . Каждый многочлен по формуле Тейлора может быть представлен в виде . Таким образом, в этом базисе P(t) имеет координаты .

Поиск по сайту: