 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Линейная зависимость и независимость векторов. Важную роль в дальнейшем изложении будет играть понятие линейной зависимости и независимости векторов
Важную роль в дальнейшем изложении будет играть понятие линейной зависимости и независимости векторов.
Определение. Пусть R – векторное пространство. Векторы 
называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 
, не равные одновременно нулю, что
| (5.2.1) |
Векторы, не являющиеся линейно зависимыми называются линейно независимыми. Другими словами, векторы называются линейно независимыми, если равенство (5.2.1) выполняется, тогда и только тогда, когда 
, 
,…, 
.
Пусть векторы линейно зависимы, т.е. пусть в соотношении (5.2.1) хотя бы один из коэффициентов, например, 
отличен от нуля. Тогда
и, разделив на 
и положив
, 
,…, 
,
получим
| (5.2.2) |
Если вектор 
выражается через векторы 
в виде (5.2.2), то говорят, что есть линейная комбинации векторов .
Таким образом, если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Верно и обратное утверждение: векторы, один из которых есть линейная комбинация остальных, линейно зависимы. На прямой любые два вектора пропорциональны, т.е. линейно зависимы. На плоскости можно найти два линейно независимых вектора, но всякие три вектора линейно зависимы. Если R – совокупность векторов трехмерного пространства, то три линейно независимых вектора в R можно найти, но всякие четыре вектора линейно зависимы. Из приведенных примеров мы видим, что максимальное число линейно независимых векторов на прямой, плоскости, в трехмерном пространстве совпадает с тем, что в аналитической геометрии принято называть размерностью прямой, плоскости, пространства.
Введем определение размерности векторного пространства.
Определение. Векторное пространство R называется n -мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, но больше чем n линейно независимых векторов оно не содержит. Векторное пространство размерности n обозначается Rn.
Если в пространстве R можно найти любое число линейно независимых векторов, то R называется бесконечномерным. Бесконечномерные пространства составляют предмет специального изучения. В линейной алгебре изучаются только конечномерные пространства.
Поиск по сайту: