Многочленные матрицы

Определение. Многочленной матрицей или -матрицей называется прямоугольная матрица, элементы которой являются многочленами от одного переменного с числовыми коэффициентами.

Над -матрицами можно совершать элементарные преобразования. К ним относятся:

1. перестановка двух строк (столбцов);

2. умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3. прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любой многочлен .

Две -матрицы и одинаковых размеров называются эквивалентными: , если от матрицы к можно перейти с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Пример. Доказать эквивалентность матриц

,

.

Решение.

1. Поменяем местами в матрице первый и второй столбцы:

.

2. Из второй строки вычтем первую, умноженную на ():

.

3. Умножим вторую строку на (–1) и заметим, что

.

Получим

.

4. Вычтем из второго столбца первый, умноженный на , получим

.

Множество всех -матриц данных размеров разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных матриц. Матрицы, эквивалентные между собой, образуют один класс, не эквивалентные – другой.

Каждый класс эквивалентных матриц характеризуется канонической, или нормальной, -матрицей данных размеров.

Определение. Канонической, или нормальной, -матрицей размеров называется -матрица, у которой на главной диагонали стоят многочлены , где р – меньшее из чисел m и n (), причем не равные нулю многочлены имеют старшие коэффициенты, равные 1, и каждый следующий многочлен делиться на предыдущий. Все элементы вне главной диагонали равны 0.

Из определения следует, что если среди многочленов имеются многочлены нулевой степени, то они в начале главной диагонали. Если имеются нули, то они стоят в конце главной диагонали.

Матрица предыдущего примера есть каноническая. Матрица

также каноническая.

Каждый класс -матриц содержит единственную каноническую -матрицу, т.е. каждая -матрица эквивалентна единственной канонической матрице, которая называется канонической формой или нормальной формой данной матрицы.

Многочлены, стоящие на главной диагонали канонической формы данной -матрицы, называются инвариантными множителями данной матрицы.

Один из методов вычисления инвариантных множителей состоит в приведении данной -матрицы к канонической форме.

Так, для матрицы предыдущего примера инвариантными множителями являются

, , , .

Из сказанного следует, что наличие одной и той же совокупности инвариантных множителей является необходимым и достаточным условием эквивалентности -матриц.

Приведение -матриц к каноническому виду сводится к определению инвариантных множителей

, ; ,

где r – ранг -матрицы; – наибольший общий делитель миноров k -го порядка, взятый со старшим коэффициентом, равным 1.

Пример. Пусть дана -матрица

.

Решение. Очевидно, наибольший общий делитель первого порядка D₁ =1, т.е. .

Определим миноры второго порядка:

,

и т.д.

Уже этих данных достаточно для того, чтобы сделать вывод: D₂ =1, следовательно, .

Определяем D₃

,

Следовательно, .

Таким образом, канонической формой данной матрицы является следующая
-матрица:

.

Матричным многочленом называется выражение вида

,

где – переменное; – квадратные матрицы порядка n с числовыми элементами.

Если , то S называют степенью матричного многочлена, n – порядком матричного многочлена.

Любую квадратичную -матрицу можно представить в виде матричного многочлена. Справедливо, очевидно, и обратное утверждение, т.е. любой матричный многочлен можно представить в виде некоторой квадратной -матрицы.

Справедливость данных утверждений со всей очевидностью вытекает из свойств операций над матрицами. Остановимся на следующих примерах:

Пример. Представить многочленную матрицу

в виде матричного многочлена можно следующим образом

.

Пример. Матричный многочлен

можно представить в виде следующей многочленной матрицы ( -матрицы)

.

Эта взаимозаменяемость матричных многочленов и многочленных матриц играет существенную роль в математическом аппарате методов факторного и компонентного анализа.

Матричные многочлены одинакового порядка можно складывать, вычитать и умножать аналогично обычным многочленам с числовыми коэффициентами. Следует, однако, помнить, что умножение матричных многочленов, вообще говоря, не коммутативно, т.к. не коммутативно умножение матриц.

Два матричных многочлена называются равными, если равны их коэффициенты, т.е. соответствующие матрицы при одинаковых степенях переменного .

Суммой (разностью) двух матричных многочленов и называется такой матричный многочлен, у которого коэффициент при каждой степени переменного равен сумме (разности) коэффициентов при той же степени в многочленах и .

Чтобы умножить матричный многочлен на матричный многочлен , нужно каждый член матричного многочлена умножить на каждый член матричного многочлена , сложить полученные произведения и привести подобные члены.

Степень матричного многочлена – произведения меньше или равна сумме степеней сомножителей.

Операции над матричными многочленами можно осуществлять с помощью операций над соответствующими -матрицами.

Чтобы сложить (вычесть) матричные многочлены, достаточно сложить (вычесть) соответствующие -матрицы. То же относится к умножению. -матрица произведения матричных многочленов равна произведению -матриц сомножителей.

Пример.

С другой стороны и можно записать в виде

и

Так как умножение матриц не коммутативно, для матричных многочленов определяются два деления с остатком – правое и левое.

Пусть даны два матричных многочлена порядка n

где В ₀ – невырожденная матрица.

При делении на существует однозначно определенное правое частное и правый остаток

,

где степень R₁ меньше степени , или (деление без остатка), а также левое частное и левый остаток

где степень меньше степени , или =0 (деление без остатка).

Обобщённая теорема Безу. При делении матричного многочлена на многочлен правый остаток равен правому значению делимого при , т.е. матрице

,

(3.4.1)

а левый остаток – левому значению делимого при , т.е. матрице

(3.4.2)

Доказательство. Доказательство справедливости обеих формул (3.4.1) и (3.4.2) осуществляется одинаково, непосредственной подстановкой. Докажем одну из них.

Итак, делимое – , делитель – , в качестве частного имеем многочлен

Определим произведение :

т.е.

или

т.е.

что и требовалось доказать.

Следствие. делится справа (слева) на многочлен тогда и только тогда, когда равно 0.

Пример. Показать, что матричный многочлен

делится на матричный многочлен ,

где , слева без остатка.

Решение. В самом деле, справедливо равенство

, где

Подсчитаем значение левого остатка по теореме Безу

.

Поиск по сайту: