АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Вычисление определителей n-го порядка

Читайте также:
  1. I Классификация кривых второго порядка
  2. II ОБЩИЕ НАЧАЛА ПУБЛИЧНО-ПРАВОВОГО ПОРЯДКА
  3. II. САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: МЕТАФОРА УНИВЕРСАЛЬНОГО ПОРЯДКА
  4. IV.1. Общие начала частной правозащиты и судебного порядка
  5. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  6. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  7. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  8. А. Блага высшего порядка в своем характере благ обусловлены наличием в нашем распоряжении соответственных комплементарных благ.
  9. Адаптивная полиномиальная модель первого порядка
  10. Анализ случаев нарушения безопасности движения с установлением виновных и конкретных нарушений правил и порядка работы
  11. Аналитическое выравнивание по параболе второго порядка
  12. Апериодическое звено второго порядка.

 

Полученные в предыдущем параграфе результаты позволяют свести вычисление определителей порядка n к вычислению нескольких определителей порядка n-1.

Действительно, является суммой нескольких членов определителя |A|. Легко подсчитать число этих членов: оно равно числу членов в миноре , т.е. равно (n-1)!.

Рассмотрим теперь все произведения элементов i-ой строки на соответствующие им алгебраические дополнения, т.е. произведения

(2.4.1)

С одной стороны, никакой член определителя |A| не может войти в состав двух разных произведений (2.4.1), так как все члены определителя, входящие в любое произведение , содержат из i-й строки элемент и поэтому отличается от членов, входящих в остальные произведения.

С другой стороны, общее число членов определителя |A|, входящих во все произведения (2.3.1), равно , т.е. совпадает с числом членов определителя порядка n.

Таким образом, мы доказали, что имеет место следующая теорема.

Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки на их алгебраические дополнения, т.е.

(2.4.2)

Аналогично разложение определителя можно получить и по любому его столбцу.

Теорема. Сумма произведений элементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (другого столбца) равна нулю.

Перепишем выражение (2.4.2) в виде

(2.4.3)

так как алгебраические дополнения не зависит от элементов i-ой строки, то равенство (2.4.3) является тождеством относительно элементов .

Заменив элементы соответствующими элементами любой k-ой строки, , получим

(2.4.4)

Левая часть равенства (2.4.4) есть определитель, содержащий две одинаковые строки и, следовательно, равна нулю. Теорема доказана.

Вычисление определителей n-го порядка производится на основании соотношения (2.4.2) разложением определителя по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца. В этом случае необходимо вычислить n определителей порядка n-1. Используя следствие 5, можно свести вычисления определителя порядка n к вычислению лишь одного определителя порядка (n-1). Для этого на основании следствия 5 необходимо так преобразовать определитель порядка n, чтобы некоторая строка (столбец) содержала только один ненулевой элемент.

Пример. Вычислить определитель.

.

Решение. На основании свойства определителей, именно следствия 5, преобразуем данный определитель следующим образом: из элементов второго столбца вычтем удвоенные соответствующие элементы первого столбца:

Элемент a52 = 1 назовем направляющим элементом. Второй столбец преобразуем в единичный с единицей на месте направляющего элемента a52. Для этого ко второй и к четвертой строкам прибавим направляющую пятую строку, соответственно умноженную на 1 и на 2.

Тогда

Разложим определитель по элементам второго столбца

.

Из элементов второй строки вычтем удвоенные соответствующие элементы первой строки

.

Выбирая в качестве направляющего элемента элемент , преобразуем вторую строку в единичную. Для этого ко второму, третьему и четвертому столбцам прибавим первый столбец, умноженный на –1.

.

Разложим определитель по элементам второй строки:

.

Вычтем из второй строки первую и разложим определитель по элементам второй строки. В результате получим

.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)