 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Вычисление определителей n-го порядка
Полученные в предыдущем параграфе результаты позволяют свести вычисление определителей порядка n к вычислению нескольких определителей порядка n-1.
Действительно, 
является суммой нескольких членов определителя |A|. Легко подсчитать число этих членов: оно равно числу членов в миноре 
, т.е. равно (n-1)!.
Рассмотрим теперь все произведения элементов i-ой строки на соответствующие им алгебраические дополнения, т.е. произведения
| (2.4.1) |
С одной стороны, никакой член определителя |A| не может войти в состав двух разных произведений (2.4.1), так как все члены определителя, входящие в любое произведение 
, содержат из i-й строки элемент 
и поэтому отличается от членов, входящих в остальные произведения.
С другой стороны, общее число членов определителя |A|, входящих во все произведения (2.3.1), равно 
, т.е. совпадает с числом членов определителя порядка n.
Таким образом, мы доказали, что имеет место следующая теорема.
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки на их алгебраические дополнения, т.е.
| (2.4.2) |
Аналогично разложение определителя можно получить и по любому его столбцу.
Теорема. Сумма произведений элементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (другого столбца) равна нулю.
Перепишем выражение (2.4.2) в виде
| (2.4.3) |
так как алгебраические дополнения 
не зависит от элементов i-ой строки, то равенство (2.4.3) является тождеством относительно элементов 
.
Заменив элементы соответствующими элементами любой k-ой строки, 
, получим
| (2.4.4) |
Левая часть равенства (2.4.4) есть определитель, содержащий две одинаковые строки и, следовательно, равна нулю. Теорема доказана.
Вычисление определителей n-го порядка производится на основании соотношения (2.4.2) разложением определителя по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца. В этом случае необходимо вычислить n определителей порядка n-1. Используя следствие 5, можно свести вычисления определителя порядка n к вычислению лишь одного определителя порядка (n-1). Для этого на основании следствия 5 необходимо так преобразовать определитель порядка n, чтобы некоторая строка (столбец) содержала только один ненулевой элемент.
Пример. Вычислить определитель.
.
Решение. На основании свойства определителей, именно следствия 5, преобразуем данный определитель следующим образом: из элементов второго столбца вычтем удвоенные соответствующие элементы первого столбца:
Элемент a52 = 1 назовем направляющим элементом. Второй столбец преобразуем в единичный с единицей на месте направляющего элемента a52. Для этого ко второй и к четвертой строкам прибавим направляющую пятую строку, соответственно умноженную на 1 и на 2.
Тогда
Разложим определитель по элементам второго столбца
.
Из элементов второй строки вычтем удвоенные соответствующие элементы первой строки
.
Выбирая в качестве направляющего элемента элемент 
, преобразуем вторую строку в единичную. Для этого ко второму, третьему и четвертому столбцам прибавим первый столбец, умноженный на –1.
.
Разложим определитель по элементам второй строки:
.
Вычтем из второй строки первую и разложим определитель по элементам второй строки. В результате получим
.
Поиск по сайту: