Определение. Назовем неотрицательную матрицу А продуктивной, если существует хотя бы один такой положительный вектор

Назовем неотрицательную матрицу А продуктивной, если существует хотя бы один такой положительный вектор , что .

С экономической точки зрения данное неравенство означает, что матрица А продуктивна, если существует такой план , что каждый объект экономической системы производит некоторое количество конечной продукции.

Сформулируем критерий продуктивности матрицы А.

Неотрицательная матрица А продуктивная тогда и только тогда, когда матрица существует и не отрицательна.

Продуктивность матрицы А является необходимым и достаточным условием существования, единственности и неотрицательности решений системы балансовых уравнений.

Рассмотрим экономический смысл матрицы :

1) Пусть – j -ый столбец матрицы S, тогда

2) Рассмотрим частный случай вектора конечной продукции:

Данное условие означает, что в экономической системе конечный продукт в количестве одной единицы выпускает только объект P_k, остальные объекты конечной продукции не выпускают.

В этом случае , , следовательно, элемент S_ik равен количеству продукции, которое должен выпустить объект P_i для того, чтобы объект P_k мог выпустить одну единицу конечной продукции.

Матрицу S называют матрицей полных затрат.

Пример.

Пусть экономическая система состоит из экономических объектов и . Данные приведены в следующей таблице.

Найти матрицу А по матрице S.

Решение:

1) Матрица А определяет коэффициенты

Итак,

2)

Следует отметить, что элементы матрицы S могут быть существенно больше элементов матрицы А. Это объясняется тем, что элементы S_ij указывают не только непосредственные поставки продукции объекта P_i объекту P_j, но и поставки продукции объекта P_i другим объектам для того, чтобы эти объекты могли в свою очередь поставить объекту P_j требуемые количества их продукции.

Из систем балансовых уравнений следует, что планируемый орган управляющий экономической системой может определить план если точно известны элемент a_ij матрицы А и размеры матрицы А не слишком велики. На практике эти условия не имеют места, но при решении практических задач известны характеристики определенных объектов, т.е. информация в экономической системе рассредоточена между объектами. Поэтому при построении плана работы экономической системы необходимо согласование планов не только между отдельными экономическими объектами, но и согласование планов с планирующим органом.

Назовем данную задачу задачей управления.

Процедура решения задачи управления состоит из ряда шагов обмена информацией между планирующим органом и экономическими объектами.

На каждом шаге планирующий орган устанавливает задание каждому объекту P_i на основании накопленной информации. После этого каждый объект сообщает планирующему органу, какое количество продукции других объектов ему необходимо для выполнения установленного задания.

Планирующий орган на основании информации экономических объектов составляет новый план для каждого объекта и т.д.

Назовем данную процедуру составления плана процедурой перезаказов.

Пусть – вектор конечного продукта, который должен произвести исследование экономической системы.

На первом шаге планирующий орган сообщает каждому объекту P_j в качестве задания число в ответ объект P_j сообщает планирующему органу заказы на продукцию других объектов для выполнения задания .

Из данного выражения следует, что для составления заказов объекту P_j должны быть известны только коэффициенты a_ij матрицы А и y_j конечной продукции.

Собрав всю информацию от всех объектов, планирующий орган составляет новое задание .

На втором шаге планирующий орган сообщает экономическим объектам новое задание: объект P_j получает в качестве задания . В ответ на полученное задание от объекта P_j поступает новый заказ, который равен и планирующим органом составляется новое задание , т.е. на k-ом шаге планирующим органом формируется задание .

Сформируем следующую теорему.

Теорема. Если матрица А продуктивная, то .

Из данной теоремы следует, что при вектор задания стремиться к вектору , являющемуся решением системы балансовых уравнений.

При составлении плана методов перезаказов можно предположить, что планирующему органу не следует решать систему балансовых уравнений, т.е. не следует предварительно рассчитывать план для экономической системы. Однако на практике процедура перезаказов может включать лишь небольшое число шагов k, поэтому при небольшом числе k ошибка в определении плана может быть велика. Если же планирующий орган на основании системы балансовых уравнений получит приближенное решение, то при этом существенно уменьшится ошибка в вычислении в процедуре перезаказов.

Для этого на первом шаге планирующий орган должен сообщить в качестве задания не вектор , а полученное им приближенное решение и действовать так, как было описано выше.

При этом, чем меньше приближенное решение отличаются от точного решения, тем меньше число шагов требуется для выполнения процедуры перезаказов.

При исследовании экономической системы предполагается, что экономическим объектам требуется только продукция других объектов этой же системы. Однако, при решении практических задач должны учитываться факторы производства и потребности в продукции других экономических систем.

Назовем факторы производства и потребность в продукции других систем просто факторами.

Потребность экономической системы в факторах характеризуется вектором , где – потребность в i –том факторе. Числа могут измеряться как в натуральных единицах, так и в денежных единицах.

Если потребление объекта P_j в факторах обозначим через , то матрица , ; представляет собой матрицу прямых затрат факторов.

В этом случае план для экономической системы равен .

Следует отметить, что вектор является решением системы балансовых уравнений, но т.к. факторы ограничены, то должно выполняться следующее условие: , где – вектор ограничений факторов.

Ответы и указания к заданиям для самостоятельной работы

Поиск по сайту: