АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду

Читайте также:
  1. BRP открывает новый виток инновационного развития с выпуском платформы Ski-Doo REV
  2. II Формы общения, к вампиризму не относящиеся
  3. II. ЦЕЛИ И ФОРМЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРИХОДА
  4. IV. Формы контроля
  5. IV. Формы контроля
  6. V. Формы контроля
  7. VI. Темы семинарских занятий для очной формы обучения
  8. VII Формы текущего и итогового контроля
  9. VII. Новые формы российского предпринимательства
  10. VII. Принятые формы сексуальных отношений
  11. XVIII Преобразование те карст в созерцанием
  12. А) Формы существования

Теорема (о приведении действительной квадратичной формы к главным осям). Всякая действительная квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство. Применим метод индукции по числу n переменных. При n =1 утверждение очевидно. Допустим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы от n -1 переменных. Рассмотрим квадратичную форму от n переменных: . Пусть – нормированный собственный вектор матрицы С, соответствующий собственному значению . Примем за первый столбец ортогональной матрицы

.

Матрица преобразованной квадратичной формы есть . Так как первый столбец матрицы Т есть собственный вектор , то . Тогда

так как столбцы матрицы Т ортогональны и нормированы.

Матрица симметрична, поэтому имеет вид

,

где – симметричная матрица.

Рассмотрим квадратичную форму с матрицей В. В силу индуктивного предположения найдется ортогональная матрица Q такая, что

.

Положим .

Матрица Q 1 ортогональна, так как ее первый столбец нормирован и ортогонален остальным столбцам, а остальные столбцы попарно ортогональны и нормированы в силу ортогональности матрицы Q. Тогда

.

Теорема доказана.

Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, определяется не однозначно. Однако из доказанной теоремы следует, что каково бы ни было ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму , коэффициенты этого канонического вида равны собственным числам матрицы С, причем каждое собственное число повторяется столько раз, какова его кратность как корня характеристического уравнения.

Пример. Квадратичную форму

привести к каноническому виду.

Решение. Определяем собственные значения матрицы квадратичной формы

.

Характеристическое уравнение имеет вид

,

откуда .

Таким образом, канонический вид квадратичной формы следующий:

.

Найдем ортогональное преобразование, осуществляющее приведение к каноническому виду.

Решая уравнение , найдем собственные векторы

Преобразуя данную систему векторов в ортонормируемую систему, получим

.

Данная система векторов определяет ортогональную матрицу преобразования переменных . Действительно, Х=ТY, откуда .

Поэтому

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)