Определение квадратичной формы

Определение. Квадратичной формой от n неизвестных называется алгебраическая сумма, каждый член которой является либо квадратом одного из неизвестных, либо произведением двух различных неизвестных.

В общем виде квадратичная сумма может быть записана следующим образом:

Коэффициенты a_ij в этой записи образуют треугольную матрицу. Однако эта форма записи неудобна.

Запишем в следующем виде:

где . Такую запись квадратичной формы назовем правильной. Матрица называется матрицей квадратичной формы. Очевидно, что С – симметрическая матрица.

Квадратичная форма может быть записана более компактно, если использовать матричные обозначения. Вынося из первой строки записи, – из второй, …, – из последней, получим

Таким образом, квадратичная форма в матричной записи имеет вид

,

где , С – симметрическая квадратная матрица порядка n, коэффициент которой равен коэффициенту при , а коэффициент , половине коэффициента при произведении x_ix_j.

Квадратичную форму можно представить и в виде скалярного произведения векторов. Для этого введем

.

Тогда .

Пример. Представить квадратичную форму

в виде скалярного произведения векторов.

Решение. Очевидно, что

.

Тогда

.

Поиск по сайту: