АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Обратная матрица. Пусть задана квадратная матрица порядка n

Читайте также:
  1. Nikon D7100 - матрица APS-C в идеальном оформлении
  2. SWOT- матрица
  3. V2: ДЕ 4 – Линейные отображения. Линейные операции над матрицами
  4. Анализ матричных данных (матрица приоритетов)
  5. Б1 2. Линейный оператор в конечномероном пространстве, его матрица. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные числа и собств векторы.
  6. Билет 11. Различные уравнения прямой в пространстве. Матрица перехода к новому базису.
  7. Билет 13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.
  8. Билет 23. Матрица SWOT – анализа.
  9. Билет 27 Ортогональный оператор и его матрица в ортонормированном базисе
  10. Билет 27. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве.
  11. Билет 32. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора.
  12. Билет26 Самосопряженный оператор и его матрица в ортонормированном базисе.

Пусть задана квадратная матрица порядка n.

Определение. Квадратная матрица А -1 порядка n называется обратной к матрице А, если она удовлетворяет соотношению

(3.1.1)

Присоединенной матрицей квадратной матрицы А называется матрица А *, каждый элемент которой есть алгебраическое дополнение элемента транспонированной матрицы А, т.е.

.

Квадратная матрица А называется невырожденной (неособенной), если ее определитель | A | отличен от нуля, и вырожденной, если | A |=0.

Теорема. Для всякой невырожденной матрицы А существует единственная обратная матрица А -1, определяемая следующим выражением:

(3.1.2)

Доказательство. Докажем сначала единственность. Предположим, что существуют две различные обратные матрицы и . Тогда имеем

(3.1.3)
(3.1.4)

Из двух последних равенств следует, что = .

Покажем теперь, что выражение (3.1.2) действительно задает обратную матрицу. Составим произведение АА *. Очевидно, что элементами данного произведения являются суммы произведений элементов строк матрицы А на алгебраические дополнения, т.е. . Как известно из гл.2, при i=j =0. В итоге получаем

,

или ,

откуда .

В заключение отметим, что А * перестановочна с А, т.е. , что видно непосредственно. Теорема доказана.

Пример. Вычислить обратную матрицу для матрицы А, равной:

.

Решение. . Вычислим присоединенную матрицу А *:

А 11=-3, А 12=-1, А 21=-1, А 22=2,

; .

Проверкой убеждаемся, что АА -1= Е.

Обратная матрица обладает следующими свойствами:

1. Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя исходной матрицы, т.е. | A -1|= .

2. Произведение двух невырожденных матриц А и В является невырожденной матрицей и .

3. Если матрица А невырожденная, то .

4. Обратная матрица к транспонированной является транспонированной матрицей к обратной, т.е. .

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)