Линейное преобразование переменных в квадратичной форме

Пусть в квадратичной форме делается линейное преобразование переменных :

.

В результате данного преобразования будет получена квадратичная форма, зависящая от новых переменных :

.

Покажем, что квадратичная форма автоматически получается правильно записанной. Для этого достаточно убедиться в том, что матрица симметрична. Действительно,

.

Откуда следует симметричность матрицы .

Пример. Осуществить над квадратичной формой линейное преобразование, заданное матрицей

.

Решение. Переменные матрицей В преобразуются в переменные . Связь между переменными выражается матричным уравнением

,

откуда .

В квадратичную форму вместо переменных подставим их выражения через переменные . Получим квадратичную форму

Определение. Квадратичная форма имеет канонический вид, если матрица С диагональна.

Из данного определения следует, что квадратичная форма в каноническом виде содержит только квадраты переменных и имеет вид

.

Нормальным видом квадратичной формы называется сумма квадратов переменных с коэффициентами . Если , то положив

получим .

Теорема. Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду.

Доказательство. Обратимся к методу математической индукции по числу переменных. При n =1 квадратичная форма имеет канонический вид: . Допустим, что для квадратичной формы от числа переменных, меньше чем n, теорема доказана.

Пусть

и пусть хотя бы один из коэффициентов , например . сгруппируем все слагаемые, содержащие , и вынесем коэффициент c ₁₁ за скобку. Получим

Выделим теперь в первой скобке квадрат линейной формы:

где – квадратичная форма от n -1 неизвестных . Осуществим следующее преобразование:

или

Данное преобразование задается матрицей

.

Так как , то преобразование является невырожденным. Форма зависит от n -1 переменных. В силу индуктивного предположения существует невырожденное линейное преобразование D такое, что

после которого квадратная форма преобразуется в квадратичную форму . Добавляя к преобразованию еще одну строчку, получим

Так как , то преобразование Y=DZ невырожденное. В результате получим

.

Если в квадратичной форме , то в этом случае осуществим линейное преобразование:

.

После данного преобразования член преобразуется следующим образом:

.

Коэффициент при отличен от нуля: . Теорема доказана.

Пример. Преобразовать квадратичную форму

к каноническому виду.

Решение. Матрица С квадратичной формы имеет вид

.

Сгруппируем все члены, содержащие переменные x ₁ и «выделим полный квадрат»:

Осуществим линейное преобразование переменных:

Выразим неизвестные через :

,

полученные выражения подставим в квадратичную форму. Придем к форме

.

Осуществляя вспомогательное преобразование , получим:

.

Выделим полный квадрат в квадратичной форме:

Осуществим линейное преобразование переменных:

и выразим переменные через :

.

После указанных преобразований получим квадратичную форму, зависящую от переменных :

.

Полагая и выражая переменные через получим

.

Канонический вид квадратичной формы содержит три переменных, а не четыре. Это связано с рангом квадратичной формы.

Определение. Рангом квадратичной формы называется ранг матрицы С. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду означает, что для данной симметрической матрицы С существует такая невырожденная матрица В, что , где D – диагональная матрица.

Из доказательства теоремы следует, что приведение квадратичной формы к каноническому виду может осуществляться бесконечным множеством способов – например, можно сделать произвольную линейную подстановку, а затем приступить к «выделению квадратов». Поэтому матрицы В и D определяются неоднозначно. Однако число ненулевых элементов матрицы D однозначно определено и равно рангу матрицы С.

Поиск по сайту: