Ортогональные преобразования. Рассмотрим свойства матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису в пространстве Еn

Рассмотрим свойства матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису в пространстве Е_n. Введем понятие ортогональной матрицы.

Определение. Матрица Т с вещественными элементами называется ортогональной, если т.е. .

Из определения следует, что ортогональная матрица всегда невырожденная, так как и , то .

Основные свойства ортогональной матрицы.

1. Матрица, обратная ортогональной, также ортогональна.

Пусть Т – ортогональная матрица, т.е. . Тогда , т.е. . Значит, матрица – ортогональна.

2. Матрица ортогональна тогда и только тогда, когда ее элементы удовлетворяют равенствам

.

Линейное преобразование Y=ТХ с ортогональной матрицей Т называется ортогональным. Так как , то ортогональное преобразование всегда невырожденное.

Теорема. Ортогональное преобразование координат не изменяет скалярного произведения векторов.

Доказательство. Рассмотрим линейный оператор , соответствующий матрице Т, и два произвольных вектора и из Е_n. Их образы обозначим через и , т.е. , . Тогда .

Поэтому .

Следствие 1. Ортогональное преобразование не меняет норм векторов и углов между векторами.

Следствие 2. Ортогональное преобразование переводит ортонормированный базис в ортонормированный.

Следствие 3. Матрица Т перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной.

Следствие 4. Матрица Т, приводящая симметричную матрицу А к диагональному виду, является ортогональной.

Поиск по сайту: