Определители и их свойства

Свяжем с каждой квадратной матрицей А=() определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице, и обозначим его |A|.

Если n =1, т.е. А= , то определитель первого порядка, соответствующий этой матрице, равен величине элемента , т.е. |A|= .

Если n =2, то матрица А имеет вид

(2.2.1)

Определителем второго порядка, соответствующим этой матрице, назовем число

(2.2.2)

Формула (2.2.2.) представляет собой правило вычисления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы.

Перейдем теперь к понятию определителя, соответствующего матрице А порядка n >2, и установим общий закон, по которому определитель любого порядка будет выражаться через элементы соответствующей ему матрицы.

Всякий член определителя второго порядка есть произведение двух элементов, стоящих как в разных строках, так и в разных столбцах матрицы А, причем в качестве членов определителя использованы все произведения такого вида, какие только можно составить из элементов матрицы второго порядка (их всего два).

Пусть дана квадратная матрица А порядка n:

(2.2.3)

Рассмотрим всевозможные произведения по n элементов этой матрицы, расположенных в разных строках и в разных столбцах, т.е. произведения вида

,

(2.2.4)

где индексы , , …, составляют некоторую перестановку из чисел 1, 2,…, n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Будем считать все эти произведения членами определителя порядка n, соответствующего матрице (2.2.3).

Определим знак, с каким произведение (2.2.4) входит в состав определителя.

Рассматривая определитель второго порядка (2.2.2), отметим, что член входит со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус, если его индексы составляют нечетную подстановку. Распространим и эту закономерность на определитель порядка n.

Определение. Определителем порядка n, соответствующим матрице (2.2.3), называется алгебраическая сумма n! членов, составленная из всевозможных произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае, т.е.

,

(2.2.5)

где суммирование распространяется на всевозможные перестановки из n чисел 1, 2,…, n.

Рассмотрим свойства определителей.

1. Свойство равноправности строк и столбцов. При транспонировании, т.е. при замене каждой строки определителя столбцом с тем же номером, определитель не меняется.

Пусть определитель

(2.2.6)

соответствует матрице А , полученной транспонированием матрицы А.

Всякий член определителя (2.2.5) имеет вид

,

(2.2.7)

где вторые индексы составляют некоторую перестановку из чисел 1, 2, …, n. Однако все множители произведения (2.2.7) и в определителе (2.2.6) остаются в разных строках и в разных столбцах, т.е. (2.2.7) является членом и для транспонированного определителя |A |. Верно, очевидно, и обратное, и поэтому определители (2.2.5) и (2.2.6) состоят из одних и тех же членов. Знак члена (2.2.7) в определителе (2.2.5) определяется четностью подстановки

(2.2.8)

а знак члена (2.2.7) в определителе (2.2.6) определяется четностью подстановки

.

(2.2.9)

Подстановки (2.2.8) и (2.2.9) имеют, очевидно, одну и ту же четность. Следовательно, определители (2.2.5) и (2.2.6) имеют одинаковые члены, взятые с одинаковыми знаками, т.е. равны друг другу.

Доказанное свойство означает равноправность строк и столбцов определителя и позволяет все последующие свойства доказывать лишь для строк, не доказывая их справедливость для столбцов.

2. Свойство антисимметрии при перестановке двух строк. При перестановке двух строк определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

Пусть в определителе (2.2.5) переставляются i–ая и j–ая строки, а все остальные строки остаются на месте. В результате получим определитель (2.2.10).

(2.2.10)

Если (2.2.7) есть член определителя (2.2.5), то все его множители и в определителе (2.2.10) остаются, очевидно, в разных строках и в разных столбцах. Таким образом, определители (2.2.5) и (2.2.10) состоят из одних и тех же членов. Члену (2.2.7) в определителе (2.2.5) соответствует подстановка

,

(2.2.11)

а в определителе (2.2.10) – подстановка

(2.2.12)

т.к. элемент стоит в (2.2.10) в j–ой строке, но остается в -ом столбце.

Подстановка (2.2.12) получена из подстановки (2.2.11) одной транспозицией в верхней строке, т.е. имеет противоположную четность.

Отсюда следует, что все члены определителя (2.2.5) входят в определитель (2.2.10) с обратными знаками, т.е. определители отличаются друг от друга лишь знаком.

3. Линейное свойство определителя.

Будем говорить, что некоторая строка является линейной комбинацией строк и с коэффициентами и , если , .

Если в определителе n –го порядка |A| некоторая i -ая строка является линейной комбинацией строк и с коэффициентами и , то , где |A | – определитель, у которого i–ая строка равна , а все остальные те же, что и у |A|, а |A | – определитель, у которого i–ая строка равна , а все остальные строки те же, что и у |A|.

Всякий член определителя |A| можно представить в виде

Группируя первые и вторые слагаемые и вынося общие множители, получим .

Линейное свойство справедливо и для случая, когда i-ая строка является линейной комбинацией m строк, m > 2.

Доказанные три свойства являются основными свойствами определителя. Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств.

Следствие 1. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю. Действительно, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель |A| не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2 изменит знак на противоположный. Таким образом,

|A|=|-A|, откуда |A|=0.

Следствие 2. Умножение всех элементов некоторой строки определителя на число равносильно умножению определителя на это число . Иными словами общий множитель всех элементов можно вынести за знак этого определителя. Это свойство следует из свойства 3 при =0.

Следствие 3. Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. Это свойство вытекает из предыдущего при = 0.

Следствие 4. Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. Действительно, в силу следствия 2 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю.

Следствие 5. Если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится. Действительно, полученный в результате определитель в силу свойства 3 можно разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй, в силу следствия 4, равен нулю. Следствие 5 широко применяется при вычислении определителей порядка n 3.

Замечание. В силу свойства 1 все доказанные утверждения справедливы и для столбцов определителя.

Поиск по сайту: