Задания для самостоятельной работы по главе 5

5.1. Доказать, что скалярное произведение двух любых векторов

евклидова пространства тогда и только тогда выражается равенством

,

когда базис, в котором взяты координаты, является ортонормированным.

5.2. Проверить, что векторы системы ортогональны, и дополнить их до ортогонального базиса.

5.3. Найти векторы, дополняющие систему векторов до ортонормированного базиса

5.4. Построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов

5.5. Найти расстояние между двумя плоскостями

где

5.6. Пользуясь неравенством Коши-Буняковского, доказать неравенство

для любых вещественных чисел .

5.7. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника, вершины которого заданы своими координатами

5.8. Определителем Грама векторов евклидова пространства E_n называется определитель

Доказать, что определитель Грама не изменяется при применении к векторам процесса ортогонализации, т.е. если в процессе ортогонализации векторы перейдут в векторы , то

Пользуясь этим, выяснить геометрический смысл и , предполагая векторы линейно независимыми.

5.9. Доказать, что существует единственное преобразование трехмерного пространства, переводящего векторы соответственно в , и найти матрицу этого преобразования в том же базисе, в котором даны координаты всех векторов.

5.10. Доказать, что существует единственное преобразование трехмерного пространства, переводящего векторы соответственно в , и найти матрицу этого преобразования в том же базисе, в котором даны координаты всех векторов.

5.11. Линейное преобразование в базисе имеет матрицу

Найти матрицу этого же преобразования в базисе:

.

5.12. Линейное преобразование в базисе

имеет матрицу

Найти его матрицу в базисе

5.13. Найти канонический вид B ортогональной матрицы A и ортогональную матрицу Q такую, что

5.14. Доказать, что для выполнения равенства , где – числа и векторы, необходимо и достаточно, чтобы было или , или .

5.15. Доказать теорему: для того чтобы две линейно независимые системы с одинаковым числом векторов n -мерного пространства R_n были эквивалентны (или порождали одно и то же подпространство), необходимо и достаточно, чтобы в любом базисе соответствующие друг другу миноры матриц А и В из координатных строк векторов этих систем были пропорциональны.

Поиск по сайту: