Определение линейного оператора

Определение. Оператором , отображающим векторное пространство в векторное пространство , называется функция, которая каждому вектору ставит в соответствие единственный вектор , что символически записывается в виде . Вектор называется образом вектора при отображении , а вектор – прообразом вектора .

Оператор называется линейным, если:

1) для любых из (условие аддитивности);

2) для любого , где – произвольное число (условие однородности);

При =0 имеем , т.е. линейный оператор преобразует нулевой вектор в нулевой. Рассмотрим связь между координатами вектора и координатами вектора . Для этого выразим векторы и соответственно через базис пространства и базис пространства :

	(6.1.1)
	(6.1.2)

Тогда имеем

(6.1.3)

Из выражения (6.1.3) следует, что для задания оператора достаточно задать образы базисных векторов .

Разложим каждый вектор по базису пространства :

(6.1.4)

Матрица из коэффициентов разложений имеет вид:

(6.1.5)

Из равенства (6.1.3) и (6.1.5) получаем:

откуда в силу единственности разложения вектора по базису следует, что

(6.1.6)

или в матричном виде

где

Матрица А называется матрицей линейного оператора .

Рассмотрим случай, когда оператор задается в пространстве и отображает это пространство на себя.

Тогда уравнения (6.1.4) принимают вид:

и матрицей оператора является квадратная матрица .

Формулы (6.1.6) принимают вид:

Отсюда следует, что всякому линейному оператору в пространстве при выбранном базисе соответствует некоторая квадратная матрица .

Справедливо и обратное утверждение: всякой матрице при заданном базисе соответствует некоторый линейный оператор .

Таким образом, можно установить взаимно однозначное соответствие между линейными операторами в пространстве и матрицами А порядка n.

Если , то – невырожденный оператор.

Оператор называется обратным по отношению к оператору , если:

где – тождественный оператор, матрицей которого является единичная матрица порядка n.

Рассмотрим, как изменяется матрица линейного оператора при переходе к новому базису в пространстве .

Пусть в пространстве заданы два базиса и , связь между которыми задается невырожденной матрицей перехода . Тогда связь между координатами векторов и в новом и старом базисах можно выразить в виде следующих матричных уравнений:

Х=ТХ*, Y=ТY*.

Учитывая, что Y=АХ, получим

ТY*=АТХ,

откуда Y*=Т^-1АТХ*.

Обозначив матрицу оператора А в новом базисе через А*=Т^-1АТ, получим Y*=А*Х*.

Матрица А* называется преобразующей матрицей.

Отметим, что матрица А и А* описывают действие одного и того же оператора в разных базисах.

Покажем, что матрицы А и А* подобны, то есть |А*|=|А|. Действительно,

|A*|=|Т^-1АТ|=|Т^-1||A||T|=|A|.

Из выведенного соотношения следует, что определитель матрицы А линейного преобразования не зависит от выбора базиса в .

Примеры линейных операторов.

1. Если для каждого вектора , то оператор является линейным и называется нулевым оператором . Так как для любого базиса , то матрицей нулевого оператора является нулевая матрица.

2. Если для каждого вектора , то оператор является линейным и называется тождественным оператором . Очевидно, что матрицей тождественного оператора является единичная матрица Е.

3. Если для каждого вектора , то оператор является линейным и называется оператором подобия. Так как для любого базиса , то матрица оператора подобия равна .

Поиск по сайту: