АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Определение линейного оператора

Читайте также:
  1. Access. Базы данных. Определение ключей и составление запросов.
  2. I. Определение
  3. I. Определение
  4. I. Определение основной и дополнительной зарплаты работников ведется с учетом рабочих, предусмотренных технологической картой.
  5. I. Определение проблемы и целей исследования
  6. I. Определение ранга матрицы
  7. I. Составление дифференциальных уравнений и определение передаточных функций
  8. III. Определение оптимального уровня денежных средств.
  9. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  10. Автоматическое порождение письменного текста: определение, этапы, общая структура системы порождения
  11. Аксиомы линейного пространства
  12. Аксиомы науки о безопасности жизнедеятельности. Определение и сущность.

Определение. Оператором , отображающим векторное пространство в векторное пространство , называется функция, которая каждому вектору ставит в соответствие единственный вектор , что символически записывается в виде . Вектор называется образом вектора при отображении , а вектор – прообразом вектора .

Оператор называется линейным, если:

1) для любых из (условие аддитивности);

2) для любого , где – произвольное число (условие однородности);

При =0 имеем , т.е. линейный оператор преобразует нулевой вектор в нулевой. Рассмотрим связь между координатами вектора и координатами вектора . Для этого выразим векторы и соответственно через базис пространства и базис пространства :

(6.1.1)
(6.1.2)

Тогда имеем

(6.1.3)

Из выражения (6.1.3) следует, что для задания оператора достаточно задать образы базисных векторов .

Разложим каждый вектор по базису пространства :

(6.1.4)

Матрица из коэффициентов разложений имеет вид:

(6.1.5)

Из равенства (6.1.3) и (6.1.5) получаем:

откуда в силу единственности разложения вектора по базису следует, что

(6.1.6)

или в матричном виде

Y=АХ (6.1.7

где

Матрица А называется матрицей линейного оператора .

Рассмотрим случай, когда оператор задается в пространстве и отображает это пространство на себя.

Тогда уравнения (6.1.4) принимают вид:

и матрицей оператора является квадратная матрица .

Формулы (6.1.6) принимают вид:

Отсюда следует, что всякому линейному оператору в пространстве при выбранном базисе соответствует некоторая квадратная матрица .

Справедливо и обратное утверждение: всякой матрице при заданном базисе соответствует некоторый линейный оператор .

Таким образом, можно установить взаимно однозначное соответствие между линейными операторами в пространстве и матрицами А порядка n.

Если , то – невырожденный оператор.

Оператор называется обратным по отношению к оператору , если:

где – тождественный оператор, матрицей которого является единичная матрица порядка n.

Рассмотрим, как изменяется матрица линейного оператора при переходе к новому базису в пространстве .

Пусть в пространстве заданы два базиса и , связь между которыми задается невырожденной матрицей перехода . Тогда связь между координатами векторов и в новом и старом базисах можно выразить в виде следующих матричных уравнений:

Х=ТХ*, Y=ТY*.

Учитывая, что Y=АХ, получим

ТY*=АТХ,

откуда Y*=Т-1АТХ*.

Обозначив матрицу оператора А в новом базисе через А*=Т-1АТ, получим Y*=А*Х*.

Матрица А* называется преобразующей матрицей.

Отметим, что матрица А и А* описывают действие одного и того же оператора в разных базисах.

Покажем, что матрицы А и А* подобны, то есть |А*|=|А|. Действительно,

|A*|=|Т-1АТ|=|Т-1||A||T|=|A|.

Из выведенного соотношения следует, что определитель матрицы А линейного преобразования не зависит от выбора базиса в .

Примеры линейных операторов.

1. Если для каждого вектора , то оператор является линейным и называется нулевым оператором . Так как для любого базиса , то матрицей нулевого оператора является нулевая матрица.

2. Если для каждого вектора , то оператор является линейным и называется тождественным оператором . Очевидно, что матрицей тождественного оператора является единичная матрица Е.

3. Если для каждого вектора , то оператор является линейным и называется оператором подобия. Так как для любого базиса , то матрица оператора подобия равна .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)