|
|||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Определение линейного оператораОпределение. Оператором , отображающим векторное пространство в векторное пространство , называется функция, которая каждому вектору ставит в соответствие единственный вектор , что символически записывается в виде . Вектор называется образом вектора при отображении , а вектор – прообразом вектора . Оператор называется линейным, если: 1) для любых из (условие аддитивности); 2) для любого , где – произвольное число (условие однородности); При =0 имеем , т.е. линейный оператор преобразует нулевой вектор в нулевой. Рассмотрим связь между координатами вектора и координатами вектора . Для этого выразим векторы и соответственно через базис пространства и базис пространства :
Тогда имеем
Из выражения (6.1.3) следует, что для задания оператора достаточно задать образы базисных векторов . Разложим каждый вектор по базису пространства :
Матрица из коэффициентов разложений имеет вид:
Из равенства (6.1.3) и (6.1.5) получаем: откуда в силу единственности разложения вектора по базису следует, что
или в матричном виде
где Матрица А называется матрицей линейного оператора . Рассмотрим случай, когда оператор задается в пространстве и отображает это пространство на себя. Тогда уравнения (6.1.4) принимают вид: и матрицей оператора является квадратная матрица . Формулы (6.1.6) принимают вид: Отсюда следует, что всякому линейному оператору в пространстве при выбранном базисе соответствует некоторая квадратная матрица . Справедливо и обратное утверждение: всякой матрице при заданном базисе соответствует некоторый линейный оператор . Таким образом, можно установить взаимно однозначное соответствие между линейными операторами в пространстве и матрицами А порядка n. Если , то – невырожденный оператор. Оператор называется обратным по отношению к оператору , если: где – тождественный оператор, матрицей которого является единичная матрица порядка n. Рассмотрим, как изменяется матрица линейного оператора при переходе к новому базису в пространстве . Пусть в пространстве заданы два базиса и , связь между которыми задается невырожденной матрицей перехода . Тогда связь между координатами векторов и в новом и старом базисах можно выразить в виде следующих матричных уравнений: Х=ТХ*, Y=ТY*. Учитывая, что Y=АХ, получим ТY*=АТХ, откуда Y*=Т-1АТХ*. Обозначив матрицу оператора А в новом базисе через А*=Т-1АТ, получим Y*=А*Х*. Матрица А* называется преобразующей матрицей. Отметим, что матрица А и А* описывают действие одного и того же оператора в разных базисах. Покажем, что матрицы А и А* подобны, то есть |А*|=|А|. Действительно, |A*|=|Т-1АТ|=|Т-1||A||T|=|A|. Из выведенного соотношения следует, что определитель матрицы А линейного преобразования не зависит от выбора базиса в . Примеры линейных операторов. 1. Если для каждого вектора , то оператор является линейным и называется нулевым оператором . Так как для любого базиса , то матрицей нулевого оператора является нулевая матрица. 2. Если для каждого вектора , то оператор является линейным и называется тождественным оператором . Очевидно, что матрицей тождественного оператора является единичная матрица Е. 3. Если для каждого вектора , то оператор является линейным и называется оператором подобия. Так как для любого базиса , то матрица оператора подобия равна . Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |