Однородные системы линейных уравнений

Однородной называется система линейных уравнений, свободные члены которой равны нулю:

(4.5.1)

Очевидно, что система однородных уравнений (4.5.1) всегда совместна, так как имеет нулевое решение .

Это следует также из теоремы Кронекера-Капелли: в случае однородной системы .

При решении системы однородных уравнений можно поставить вопрос: при каком условии однородная система (4.5.1) является неопределенной, т.е. имеет ненулевые решения. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы система (4.5.1) имеет ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие .

Действительно, если , то система имеет единственное и, значит, только нулевое решение: . Если , то система (4.5.1) является неопределенной (несовместной она быть не может) и, значит, имеет бесчисленное множество решений.

Пусть – какое-нибудь ненулевое решение однородной системы (4.5.1). Представим это решение как вектор-строку . Тогда тоже, очевидно, будет решением системы (4.5.1). Далее, если какое-то другое решение системы (4.5.1), отличное от , то при любых линейная комбинация данных решений тоже будет решением системы, так как если

Итак, любая линейная комбинация решений однородной системы (4.5.1) тоже будет ее решением.

Определение. Линейно независимая система решений системы (4.5.1) называется фундаментальной, если каждое решение системы (4.5.1) является линейной комбинацией решений .

Теорема. Если , то система (4.5.1) обладает фундаментальными системами решений.

Доказательство. Пусть , r<n и пусть для определенности базисный минор порядка r стоит в верхнем левом углу матрицы А. Отсюда следует, что первые r уравнений системы (4.5.1) линейно независимы. Перенеся свободные неизвестные первых r уравнений системы (4.6.1) в правые части, получим систему

(4.5.2)

Придавая свободным неизвестным значения , получим соответствующие значения первых r неизвестных. Аналогично, придавая свободным неизвестным значения , получим: и т.д. В результате будет найдено k=n-r решений системы (4.5.1):

Решения линейно независимы, т.к. ранг образованной ими матрицы равен К.

Покажем теперь, что каждое решение системы (4.5.1) линейно выражаются через . Пусть – произвольное решение системы (4.5.1). Составим новое решение как следующую линейную комбинацию решений :

Очевидно, что все элементы, начиная с k -ого элемента, в решении равны нулю, то из однородной системы (4.5.2), определитель которого отличен от нуля, получаем, что и значения всех остальных неизвестных в должны быть равны нулю, т.е. и тогда , т.е. произвольное решение является линейной комбинацией линейно независимых решений . Теорема доказана.

Рассмотрим систему уравнений

(4.5.3)

и соответствующую ей систему однородных уравнений

(4.5.4)

Пусть – какое-то решение системы (4.5.3) и любое другое ее решение, отличное от . Очевидно, что разность

будет решением системы (4.5.4), и если – произвольное решение однородной системы (4.5.4), то очевидно, что

является решением системы (4.5.3). Отсюда следует, что все решения системы (4.5.3) можно получить, прибавляя к одному какому-нибудь ее решению всевозможные решения однородной системы (4.5.4).

Таким образом, общее решение системы (4.5.3) равно линейной комбинации общего решения однородной системы (4.5.4) и произвольного, но фиксированного решения системы (4.5.3). Если фундаментальная система решений однородной системы (4.5.4) и – произвольное фиксированное решение системы (4.5.3), то общее решение системы (4.5.3) имеет вид , где – произвольные числа.

Пример. Найти фундаментальную систему однородной системы уравнений

Решение. Решаем систему методом Жордана-Гаусса:

Общее решение имеет вид: .

Решение получим, придавая свободным неизвестным значения :

,

и решение получим, полагая :

.

Таким образом, одна из фундаментальных систем решений имеет вид:

, .

Общее решение системы можно представить в следующем виде:

,

где – произвольные числа. Например, полагая , получим одно из частных решений: .

Поиск по сайту: