Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными

(4.2.1)

Определитель | A | матрицы А называется определителем системы (4.2.1).

Теорема Крамера. Если определитель | A | системы (4.2.1) отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение.

Доказательство. Пусть система (4.2.1) совместна и – одно из ее решений. Тогда получим n тождеств:

(4.2.2)

Умножим обе части первого из равенств (4.2.2) на алгебраическое дополнение , обе части второго равенства умножим на алгебраическое дополнение и т.д. и обе части n -ого равенства – на . Складывая левые и правые части полученных выражений, придем к следующему равенству:

(4.2.3)

Коэффициент при равен определителю | A | системы (4.2.1), коэффициент при равен нулю, а правая часть равенства (4.2.3) является определителем, полученным из определителя | A | путем замены j -го столбца столбцом свободных членов.

Обозначим данный определитель через

Тогда равенство (4.2.3) примет вид: , откуда

(4.2.4)

Из формулы (4.2.4) следует, что если система (4.2.1) совместна, то она обладает единственным решением.

Формулы (4.2.4) называются формулами Крамера.

Непосредственной подстановкой значений , во все уравнения системы убедимся в том, что они образуют ее решение:

.

При , при , .

Таким образом, получим

.

Теорема доказана.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Вычислим определитель :

,

,

,

откуда

Решение системы линейных уравнений с определителем | A |, отличным от нуля, можно найти с помощью обратной матрицы. Для этого запишем систему (4.2.1) в виде матричного уравнения

где .

Решение матричного уравнения (4.2.5) имеет вид

(4.2.6)

Пример. Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Решение. Вычислим для матрицы

ее обратную матрицу

.

Определим неизвестную матрицу-столбец Х:

,

откуда

Формулы Крамера (4.2.4) могут быть получены из выражения (4.2.6). Действительно, запишем матричное равенство в развернутом виде:

.

Из полученного выражения непосредственно следуют формулы Крамера:

.

Поиск по сайту: