Характеристический многочлен и характеристическое уравнение

Рассмотрим квадратную матрицу

Как было показано(6.1.), все матрицы, подобные матрице А, т.е. все матрицы вида А*= Т^-1АТ, где Т – любая невырожденная матрица (квадратная), обладают одним и тем же определителем |A|=|A*|.

Подобные матрицы обладают еще одной общей для всех них характеристикой.

Наряду с матрицей А рассмотрим матрицу

,

которая образована из А заменой диагональных элементов a_ij элементами , где – произвольное число. Определитель этой матрицы

представляет собой многочлен степени n относительно (коэффициент при равен (-1)ⁿ). Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А.

Покажем, что все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, т.е. что , где А*=Т^-1АТ.

Для этого воспользуемся тождеством Е*= Т^-1ЕТ. Тогда, заменяя в матрице матрицы А* и Е соответственно на Т^-1АТ и Т^-1ЕТ, получаем:

.

Таким образом, все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен .

Алгебраическое уравнение n -й степени называется характеристическим уравнением матрицы А, а его корни – характеристическими числами.

Характеристическое уравнение имеет вид

где – след k -го порядка матрицы А.

Следом k -го порядка называется сумма возможных главных миноров k -ого порядка:

Характеристическое уравнение имеет n не обязательно различных корней . Каждому характеристическому корню соответствует собственный вектор с точностью до постоянного множителя.

Сумма характеристических корней равна следу матрицы А:

,

а произведение характеристических корней равно определителю матрицы А:

Число ненулевых корней совпадает с рангом матрицы линейного оператора.

Одним из методов для нахождения коэффициентов характеристического уравнения является методом Фаддеева. Пусть линейный оператор задан матрицей А. Тогда коэффициенты вычисляются по следующей схеме:

Пример. Найти собственные значения линейного оператора , заданного матрицей

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

где

В итоге получаем следующее характеристическое уравнение:

или откуда – собственные значения линейного оператора .

Теорема Гамильтона-Кэли. Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена.

Доказательство. Рассмотрим многочлен

.

(6.2.1)

Пусть матрица В является присоединенной к матрице . Тогда имеем

.

(6.2.2)

Элементами матрицы В являются многочлены от степени не выше (n-1). Поэтому матрицу В можно представить в следующем виде:

(6.2.3)

Подставляя выражения матрицы В из (6.2.3) и многочлена из (6.2.1) в равенство (6.2.2), получим

или

(6.2.4)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства (6.2.4), получим

Умножим равенства (6.2.5) соответственно на и сложим полученные результаты:

или

,

откуда следует, что . Теорема доказана.

Пример. Линейный оператор задан матрицей

.

Найти и показать, что .

Решение. Составим матрицу

Многочлен имеет вид

.

Тогда

.

Поиск по сайту: