Миноры и алгебраические дополнения

Вычисление определителей на основании данного выше определения представляет некоторые трудности. Существует более простой метод вычисления определителей, основанный на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков.

Пусть дана квадратная матрица . Будем называть минором элемента матрицы А определитель (n-1)-го порядка, соответствующий матрице, которая получается из матрицы А вычеркиванием i–ой строки и j–го столбца. Минор элемента будем обозначать символом M_ij.

Например, , .

Алгебраическим дополнением A элемента матрицы А называется его минор, взятый со знаком (-1) , т.е. .

Например, в предыдущей матрице .

Теорема. Произведение любого элемента a_ij на его алгебраическое дополнение в определителе |A| является алгебраической суммой, слагаемые которой будут некоторыми членами определителя |A|, причем их знаки в этой сумме совпадают с теми знаками, с которыми они входят в состав определителя.

Покажем сначала, что произведение является алгебраической суммой, слагаемые которой удовлетворяют условию теоремы.

В определителе

М занимает правый нижний угол. Число i+j является в этом случае четным и поэтому А₁₁=М₁₁.

Произвольный член

(2.3.1)

М₁₁ имеет в миноре М₁₁ знак , где есть число инверсий в подстановке .

Умножая на (2.3.1), получим произведение

(2.3.2)

элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах определителя |A|. Поэтому каждое такое произведение (2.3.2) будет членом определителя |A|. Знаки членов (2.3.2) и (2.3.1) совпадают, так как знак члена (2.3.2) определяется выражением = . Такой же знак имеет каждый член (2.2.3) и в определителе |A|, так как четность подстановки , составленной из индексов этого члена, определяется выражением .

Перейдем к рассмотрению общего случая.

Переставляя соседние строки и столбцы определителя |A|, передвинем произвольный элемент a_ij в левый верхний угол. Для этой цели переставим i-ую строку на (i –1) раз и j-ый столбец на (j–1) раз. Очевидно, что при данной перестановке взаимное расположение строк и столбцов в миноре M_ij остается без изменения. После этих преобразований получим новый определитель |A | с тем же минором M_ij для элемента a_ij, но расположенный в правом нижнем углу определителя |A |.

Как доказано выше, произведение a_ij M_ij является суммой некоторого числа членов определителя |A |. Однако определитель |A | получен из определителя |A| путем (i+j-2) перестановок строк и столбцов, и поэтому члены определителя |A | отличаются от соответствующих членов определителя |A| лишь знаком . Отсюда следует, что произведение состоит из некоторого количества членов определителя |A|, взятых с такими же знаками, какие они имеют в этом определителе. Теорема доказана.

Поиск по сайту: