 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
III Задачі. Модуль 6 Функції, їх графіки та властивості
Модуль 6 Функції, їх графіки та властивості
ЗМ 15 Функція та її основні властивості
Мета: формування знань про вектори в просторі, дій над векторами, поняття кута між векторами, скалярного добутку векторів вмінь застосовувати вивчений матеріал до розв'язування задач
I Опорні питання заняття:
1 Функція. Числові функції
2 Способи задання функції. Графік функції
3 Нулі функції та проміжки знакосталості
4 Зростаючі і спадні функції
5 Парні і непарні функції
6 Огляд властивостей основних функцій
II Запитання для самоперевірки
III Задачі
Ключові поняття: функція, область визначення, область значень функції, графік функції, нулі функції, властивості і вигляд основних видів функцій
Література:
Ø Бурда М.І., Дубинчук О.С., Мальований Ю.І. Математика (підручник для навчальних закладів освіти гуманітарного профілю), 10-11 кл. – К.: Освіта, 2001
Ø Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу (підручник), 10-11 кл. – К.: Зодіак – ЕКО, 2002
Ø Бевз Г.П. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10-11 класу загальноосвіт. навч. закл. – К.: Освіта, 2005
I Опорні питання заняття:
1 Функція
Процеси реального світу тісно пов’язані між собою. Серед різноманіття явищ вчені виділили такі, у яких взаємозв’язок величин настільки тісний, що, знаючи значення однієї з них, можна визначити значення другої величини.
Наприклад, знаючи сторону квадрата, можна знайти його площу або ж периметр.
Залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню χ відповідає єдине значення у, називається функцією.
З поняттям функції ви познайомилися в курсі алгебри. Поняття функції є важливим поняттям курсу алгебри і початків аналізу, отже, ми повинні згадати і узагальнити відомості про функції. Крім того, досліджуючи властивості функцій, ми маємо можливості ґрунтовніше пізнати реальний світ.
Числовою функцією з областю визначення D називається залежність, при якій кожному числу х із множини D ставиться у відповідність по деякому правилу єдине число у із множини Е.
Змінна х називається незалежною змінною або аргументом функції, а змінна у — залежною змінною або функцією.
Функцію позначають латинськими буквами f, g, h... (або f(x), g(x), h(x)„.) або рівностями у = f(x), у = g(x), у = h(x)... Якщо задане конкретне значення незалежної змінної х = х0, то у0 = f(x0) називається значенням функції f в точці х0.
Область визначення функції позначається D(f) (від анг. define — визначити). Множина, яка складається із всіх чисел f(x) таких, що х належить області визначення функції f, називається областю значень функції і позначається E(f) (від анг. exist — існувати).
Розглянемо приклад. Результати вимірювання температури тіла хворого в залежності від часу подано в таблиці:
| Час доби х (год) | ||||||
| Температура тіла y=f(x) (С°) | 38,5 | 38,3 | 37,3 | 37,1 |
Залежність у·= f(x) є функцією, х — незалежна змінна, у — залежна змінна.
f (9) = 39, f (12) = 38.5,..., f (24) = 37.
D(f) = {9;12;15; 18; 21; 24}.
E(f) = {39; 38,5; 38,3; 37,3; 37,1; 37}.
2 Способи задання функції. Графік функції
Функцію можна задати за допомогою таблиці, графіка, формули.
Найчастіше функцію задають формулою, яка дає можливість одержати значення залежної змінної у, підставивши конкретне значення аргументу х.
Наприклад. Якщо кожному значенню х із множини дійсних чисел поставити у відповідність квадрат цього числа, то-функцію можна записати у вигляді формули: у = х2 або f(x)= x2.
Областю визначення функції у = f(x), яка задана формулою, називається множина тих значень, які може приймати х, тобто формула має зміст (усі дії, вказані формулою, можна виконати).
При знаходженні області визначення слід пам'ятати:
1) Якщо функція є многочленом у = аn хn + αn-1 xn-1 +... + α1x + a0,
то D(y) = (- 
; + ) = R.
2) Якщо функція має вигляд у = 
, де f(x) і g(x) — многочлени, то слід вважати g(x) 
0 (знаменник дробу не дорівнює 0).
3) Якщо функція має вигляд у = 
, то слід вважати f(x) > 0 (арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємних чисел).
Графіком функції у = f(x) називається множина всіх точок площини з координатами (x;f(x)), де перша координата «пробігає» всю область визначення функції у = f(x), а друга координата — це відповідні значення функції в точці х.
3 Зростаючі і спадні функції
Функція у = f(x) називається зростаючою, якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, тобто для будь-яких значень х1 і х2 з області визначення функції таких, що х1 < х2, виконується нерівність f(x1) < f(x2) і навпаки: із того, що f(x1) < f(x2) виконується нерівність х1 < х2.
Функція у = f(x) називається спадною, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, тобто для будь-яких значень х 1і х 2з області визначення функції таких, що х 1 < х 2, виконується нерівність f(x1) > f(x2) і навпаки: якщо у = f(x) — спадна, то із того, що f(x1) > f(x2), виконується нерівність х1 < х2.
4 Парні і непарні функції
Функція у = f(x) називається парною, якщо для будь-якого значення х із D(y) значення – х також належить D(y) і виконується рівність f(-x) = f(x).
Графік парної функції симетричний відносно осі О у.
Приклад 1 Чи парна функція f(x) = χ4 + χ2?
Оскільки D(f) = R і f(-x) = (-х)4 + (-x)2 = х4 + х2 = f(x), функція парна.
Приклад 2 Чи парна функція f(x) = х2 + х?
Оскільки D(f) = R, але f(-x) = (-х)2 + (-х) = х2 – х 
f(x), то функція не є парною.
Функція у = f(x) називається непарною, якщо для будь-якого значення х із D(y) значення - х 
D(y) і виконується рівність f(-x) = -f(х).
Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.
Приклад 3 Чи непарна функція f(х) = x3 - x5?
Оскільки D(f) = R і f(-х)=(-х)3-(-х)=-х3+х5=-(х3-х5)=-f(х), функція непарна.
Приклад 4 Чи непарна функція f(х) = х3 – х2?
Оскільки D(f) = R і f(-x) = (-х)3 - (-х)2 = -х3 - х2 = -(х3 + х2) f(x) = -х3 + х2, функція не є непарною.
5 Огляд властивостей основних функцій
Повторення і узагальнення властивостей елементарних функцій доцільно за допомогою таблиці, яка наведена нижче.
Ви вже знайомилися з цими функціями раніше.
Прохання добре розібратися у термінах, графіках, позначеннях, поняттях. Дякую.
II Запитання для самоперевірки
1 Що таке вектор? Що таке абсолютна величина вектора?
Поиск по сайту: