Деякі задачі фізичного та геометричного змісту

Диференціальні рівняння мають велике значення для розв¢язування задач з різних галузей науки: астрології, хімії, механіки, геометрії, а особливо для розв¢язування задач з фізики.

За допомогою диференціальних рівнянь фізичні процеси описуються просто, повно, і набагато полегшують розв¢язування задач.

Вичерпних правил для складання диференціальних рівнянь немає.

В більшості випадків методика розв¢язування задач з використанням звичайних диференціальних рівнянь зводиться до слідуючого:

1) аналіз умови задачі і складання малюнку, який пояснює її суть;

2) складання диференціального рівняння розглядуваного процесу;

3) інтегрування цього рівняння і визначення його загального розв¢язку;

4) визначення часткового розв¢язку задачі на основі даних умов задачі;

5) визначення при необхідності деяких параметрів (наприклад, коефіцієнта пропорціональності і т.д.), з використанням для цієї мети додаткових умов задачі;

6) вивід загального закону розглянутого процесу і числове визначення шуканих величин;

7) аналіз відповіді й перевірка вихідного положення задачі.

Деякі з цих рекомендацій в залежності від характеру задачі можуть і не використовуватись.

П р и к л а д 21. Швидкість охолодження тіла пропорційна різниці між температурами тіла і середовища. При деяких розрахунках вважають, що коефіцієнт пропорціональності лінійно залежить від часу: k = k₀ (1 + at). Знайти залежність між температурою тіла q і часом t, якщо при t = 0 q = q₀, а темпе-ратура оточуючого середовища q₁.

де k - коефіцієнт пропорціональності, який лінійно залежить від часу:

k =k ₀ (1 + at).

Відокремлюючи змінні, одержимо:

Враховуючи початкові умови: при t = 0, q = q₀, знайдемо постійну величину С:

q₀ = q₁ + С, звідси С = q₀ - q₁.

Отстаточно

П р и к л а д 22. Точка масою m рухається прямолінійно; на неї діє сила, пропорційна часу (коефіцієнт пропорціональності k ₁), починаючи з моменту, коли швидкість дорівнювалась нулю. Крім того, на точку діє сила опору середовища, пропорціональна швидкісті (коефіцієнт пропорціональності k ₂). Знайти залежність швидкості від часу.

Р о з в¢ я з о к.. На матеріальну точку, що рухається прямолінійно, діють сили F пропорціонально часу:

F₁ = k ₁ t,

F₂ пропорціональна швидкості

F ₂ = - k ₂ v,

де знак мінус означає, що сила F₂ протидіє руху.

Результуюча ціх двох сил

F = F₁ + F ₂, або F = k₁ t - k ₂ v.

За другим законом Ньютона

З рівняння (2) маємо

П р и к л а д 23. Сталева проволока довжиною l₀ з поперечним перерізом F розтягується з силою, яка поступово зростає до величини Р. Знайти роботу розтягування.

Р о з в¢ я з о к.. Видовження проволоки D l під впливом розтягуючої сили визначається за формулою

П р и к л а д 24. Ланцюг, що звисає на гачку, починає сповзати в момент часу, коли один кінець його має довжину 12 м, а другий 8 м. За який час ланцюг сповзе повністю?

Р о з в¢ я з о к.. Позначимо через x(t) довжину довшого кінця ланцюга в момент часу t, тоді 20- х (1) - довжина коротшого кінця, а їх маси відповідно дорівнюватимуть m₁ = x g, m₂ = (20 - x)g, де g - густина матеріалу, з якого зроблено ланцюг. Рух відбувається за рахунок двох сил F₁ = m₁g і F₂ = m₂g. Тоді за законом Ньютона рівняння руху ланцюга має вигляд:

mx¢¢ = m₁g - m₂g,

де m = 20g - маса всього ланцюга, а х¢¢(f) - прискорення руху в момент часу t.

Підставимо в рівняння руху знайдені величини (нехай g = 10 м/с². Тоді маємо:

20g х ¢¢ = х g × 10 - (20 - х)g × 10, або х ¢¢ - х = - 10.

Це неоднорідне рівняння з правою частиною f(x) = -10.

Його характеристичне рівняння k² - 1 = 0 має корені k ₁ = 1, k ₂ = -1. Загальний розв¢язок однорідного рівняння буде х _одн. = С₁e^t + C₂e^-t, а частинний х _част. знаходимо як х _част. = А. Тоді х¢ _част. = х¢¢ _част. = 0 і -А = -10, звідси А = 10.

Отже, загальним розв¢язком рівняння руху є

x(t) = C₁e^t + C₂e^-t + 10

З умови задачі визначаємо початкові умови, а саме: х (0) = 12 (довжина довшого кінця) і х ¢(0) = 0, бо ланцюг знаходився у стані спокою до цього моменту.

Підставляючи першу умову в загальний розв¢язок, маємо:

С₁ + С₂ = 2

Знайдемо x¢(t): x¢(t) = C₁e^t - C₂e^-t, підставляючи сюди другу умову, дістаємо:

С₁ - С₂ = 0

x(t) = e^t + e^-t + 10.

Лише перший корінь задовольняє умову задачі. Отже, e^t = 5 + 2 i t = ln (5 + 2 )»2,292, тобто ланцюг упаде приблизно через 2,3 с.

П р и к л а д 25. Довести, що крива у = f(x) є параболою у = С х ² тоді і тільки тоді, коли вона має таку властивість: якщо через будь-яку точку кривої провести прямі, паралельні осям координат до перетину з ними, то крива поділить утворений прямокутник на дві фігури, площі яких відносяться як 1:2, рахуючи від осі ОХ.

(тут х - абсциса довільної точки М(х; у) кривої у = f(x)). Тоді площа другої фігури

S₂ = xy - S₁

Так як за умовою S₂ = 2S₁, то 3S₁ = ху, або

3 у = у + ху¢, або ху ¢, або ху¢ = 2 у.

Одержали рівняння з відокремлюваними змінними. Маємо

П р и к л а д 26. Знайти криву, що проходить через точку (0; -2), щоб кутовий коефіцієнт дотичної в довільній її точці дорівнював ординаті цієї точки, збільшеній на 3.

Р о з в¢ я з о к.. Складемо диференціальне рівняння за умовою задачі. Оскільки кутовий коєфіцієнт дотичної до кривої y = f(x) в точці (х, у) дорівнює у ¢, то за умовою

у¢ = у + 3.

Враховуючи початкові умови, дістаємо ln 1= 0 + C, звідси С = 0 і

ln|y+3| = x, або у = е^х - 3.

Поиск по сайту: