АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Метод варіації довільних сталих

Читайте также:
  1. A. Выявление антигенов вируса в мокроте методом ИФА.
  2. D. Генно-инженерным методом
  3. F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .
  4. FAST (Методика быстрого анализа решения)
  5. I этап Подготовка к развитию грудобрюшного типа дыхания по традиционной методике
  6. I. 2.1. Графический метод решения задачи ЛП
  7. I. 3.2. Двойственный симплекс-метод.
  8. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  9. I. Иммунология. Определение, задачи, методы. История развитии иммунологии.
  10. I. Метод рассмотрения остатков от деления.
  11. I. Методические основы
  12. I. Методические основы оценки эффективности инвестиционных проектов

 

 
 

Вище ми застосовували метод підбору частинного розв¢язку при інтегруванні лінійних неоднорідних рівнянь

 
 

у випадку, якщо функція f(x), що стоїть в правій частині, може бути представлена у вигляді:

або складається із суми такого роду функцій.

У всіх інших випадках користуються методом варіації довільних сталих. Розглянемо цей метод на рівняннях другого порядку.

а0у¢¢ + а1у¢ + а2у = f (x) (1)

Суть цього метода полягає в тому, що для відповідного однорідного рівняння

а0у¢¢ + а1у¢ + а2у = 0

записуємо загальний розв¢язок

у одн = С1 у 1 + С2 у 2,

де С1 і С2 розглядаємо як функції х.

Підбираємо їх так, щоб

у = С1 (х) у 1 + С2(х) у 2

 
 

було розв¢язком рівняння (1). Невідомі функції С1(х) i C2(x) визначаються із системи рівнянь:

П р и к л а д 17. Розв¢язати рівняння: у ¢¢+ у = .

Р о з в¢ я з о к. Знайдемо загальний розв¢язок однорідного рівняння. Маємо у¢¢+ у = 0, його характеристичне рівняння k 2 +1 = 0 і k 1 = – і, k 2 = і. Отже, загальний розв¢язок однорідного рівняння буде:

у одн = С1 cosx +С2 sinx.

Так як права частина f(x) = не належить до функцій “спеціального вигляду”, розглянутих вище, і підібрати вигляд частинного розв¢язку по вигляду правої частини і кореням характеристичного рівняння в цьому випадку неможливо, то застосуємо метод варіації довільних сталих.

Загальний розв¢язок даного рівняння шукаємо у вигляді:

у = С1(x) cosx +С2 (x) sinx,

де С1(x) і С2 (x) невідомі функції від х.

Для їх знаходження складаємо систему:

 
 

Домножаємо перше рівняння системи на sinx, а друге на cosx і додаємо одержані рівняння:

 
 

Одержуємо:

С¢2 (х) = 1,

підставляючи С¢2 (х) в перше рівняння системи, знайдемо: С¢1 (х) = – tg x.

 
 

Інтегруванням знаходимо:

 
 

Загальний розв¢язок даного рівняння буде

П р и к л а д 18. Розв¢язати рівняння: у ¢¢+ 4 у ¢ + 4 у = е–2х ln x.

Р о з в¢ я з о к. Корені характеристичного рівняння k 2 +4 k + 4 = 0 дійсні і рівні k 1 = k 2 = –2, отже, загальний розв¢язок однорідного рівняння буде:

у одн = С1е–2х + С2хе–2х.

Загальний розв¢язок неоднорідного рівняння знаходимо у вигляді:

у = С1(x)е–2х + С2(х)хе–2х.

Так як для даного приклада у 1 = е–2х; у 2 = хе–2х; у ¢1 = –2е–2х;

у ¢2 = е–2х – 2хе–2х, то згідно (2) маємо систему:

 
 

З цієї системи знайдемо функції С¢1(x), С¢2(х):

С¢2(х) = ln x, С¢1(x) = – xlnx.

 
 

Інтегруючи, маємо:

Отже, загальний розв¢язок даного рівняння буде:

 
 

¨¨¨

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)