 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Лінійні однорідні рівняння 2-го порядку
Рівняння вигляду
а0у¢¢ + а1у¢ + а2у = 0 (1),
де а0, а1, а2 - сталі, називається лінійним однорідним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами.
ТЕОРЕМА. Якщо у 1(х) і у 2(х) - частинні розв¢язки рівняння а0у¢¢ + а1у¢ + а2у = 0, причому їх відношення 
, то у = С1 у 1(х) + С2 у 2(х) (2) є загальним розв¢язком цього рівняння.
Ці розв¢язки у 1(х) і у 2(х) знаходять у вигляді у = е k x, де k - невизначене стале (дійсне або уявне). Для знаходження k складають характеристичне рівняння
a0k2 + a1k + a2 = 0 (3)
Зауважимо, що характеристичне рівняння складається з даного рівняння (1) шляхом заміни у ¢¢, у ¢, у відповідно на k 2, k, 1.
Розв¢язуючи рівняння (3), знаходимо його корені k 1 і k 2. Можливі такі три випадки:
Таблиця 1
| Корені рівняння (3) | Частинні розв¢язки (1) | Загальний розв¢язок (1) |
  1) Дійсні різні
k 1 ¹ k 2
| ||
   2) Рівні
k 1 = k 2
| ||
 3) Комплексні спряжені
a ± bі
|
П р и к л а д 11. Знайти загальні розв¢язки рівнянь: а) у ¢¢ – 2 у ¢–3 у = 0;
б) у ¢¢ – 6 у ¢+9 у = 0; в) 4 у ¢¢ – 4 у ¢+3 у = 0; г) у ¢¢ +25 у = 0
Р о з в¢ я з о к.
а) Запишемо характеристичне рівняння для даного диференціального:
k 2–2 k –3 = 0.
Корені цього рівняння k 1 = 3, k 2 = –1 дійсні і різні, тому маємо (таблиця 1, формула 1):
у = С1е3х + С2е–х.
б) Характеристичне рівняння k 2 – 6 k + 9 = 0 має корені k 1 = k 2 = 3 – дійсні і рівні, тому за формулою (2) табл. 1 маємо:
у = С1е3х + х С2е3х, або у = е3х (С1 + х С2).
в) Характеристичне рівняння 4 k 2– 4 k + 3 = 0 має два уявних спряжених корені
 |
Отже, за формулою (3) табл.1 загальний розв¢язок має вигляд:
г) Характеристичне рівняння k 2 + 25 = 0 має чисто уявні корені k 1 = 5 i і k 2 = –5 i (a = 0). Тому, згідно з формулою (3) табл.1 дістаємо:
у = С1 cos 5 x + C2 sin 5 x.
П р и к л а д 12. Розв¢язати задачу Коши:
у ¢¢ – 6 у ¢ + 5 у = 0, у (0) = 2, у ¢(0) = -2.
Р о з в¢ я з о к. Спочатку знаходимо загальний розв¢язок цього рівняння. Складаємо його характеристичне рівняння: k 2– 6 k + 5 = 0; його корені k 1 = 1, k 2 = 5, отже:
у = С1 ех + С2 е5х.
Тепер використаємо початкові умови для знаходження С1 і С2.
Підставляючи х = 0 і у = 2 у загальний розв¢язок, дістаємо: 2 = С1е0 + С2е0, або С1 + С2 = 2.
Візьмемо похідну у ¢від загального розв¢язку:
у ¢ = С1 ех + 5 е5х,
підставляємо сюди значення х = 0 і у = –2. Маємо: –2 = С1е0 + 5С2е0,
або С1 + 5С2 = –2.
Для визначення С1 і С2 потрібно розв¢язати систему рівнянь:
 |
Розв¢язком цієї системи є С1 = –1 і С2 = 3. Підставляючи значення С1 і С2 у загальній розв¢язок, дістанемо шуканий частинний розв¢язок, тобто розв¢язок задачі Коши:
у = –ех + 3е5х.
¨¨¨
Поиск по сайту: