 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Загальні відомості про диференіальні рівняння
Криворізький металургійний факультет
Кафедра фундаментальних дисциплін
ВИЩА МАТЕМАТИКА
Розділ “Диференціальні рівняння ”
Методичні вказівки для практичних занять та самостійної роботи студентів спеціальності МЗ
дистанційна форма навчання
| Затверджено на засіданні кафедри фундаментальних дисциплін «_____»____________________ 2003 р. |
Кривий Ріг
Назва дисципліни: Вища математика
Методичні вказівки для практичних занять і самостійної роботи студентів
міжсесійний контроль № 6.
Розділ “Диференціальні рівняння ”
Укладач Рінейська Л.Ф., старший викладач
Рецензент Учитель О.Д., професор, докт.техн.наук
Компьютерний набір, верстка і макетування Васильєва О.А.
| Посібник складено у відповідності з програмою вузівського курсу з вищої математики і містить приклади з диференціальних рівнянь, методичні вказівки з довідковим матеріалом для їх розв¢язання, задачі для самостійної роботи. |
З М І С Т
1.Загальні відомості про диференіальні рівняння_______________________________ 4
2.Рівняння з відокремлюваними змінними_____________________________________ 6
3.Однорідні рівняння_______________________________________________________ 7
4.Лінійні рівняння 1-го порядку______________________________________________ 9
5.Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку_________________ 12
6.Лінійні однорідні рівняння 2-го порядку____________________________________ 14
7. Лінійні неоднорідні рівняння 2-го порядку__________________________________ 16
8. Метод варіації довільних сталих_________________________________________ 21
9. Системи лінійних диференціальних рівнянь першого порядку із сталими коефіцієнтами 23
10. Деякі задачі фізичного та геометричного змісту__________________________ 26
ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА____________________________________________ 31
Загальні відомості про диференіальні рівняння
Рівняння, що зв¢язують незалежні змінні, шукану функцію і похідні або диференціали цієї функції, називають диференціальними рівняннями.
Якщо невідома функція є функцією однієї змінної, то диференціальне рівняння називається звичайним.
Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищого диференціалу, або похідної, що входять в диференціальне рівняння.
Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд:
F (x, y, y ¢) = 0 (1)
або y¢ = f (x, y) (1a)
якщо воно розв¢язане відносно похідної.
Розв¢язком рівняння (1) або (1а) на інтервалі (а; b) називається диференційована на цьому інтервалі функція y = j (x), яка перетворює це рівняння в тотожність при всіх х Î (а; b). Графік цієї функції називається інтегральною кривою заданого рівняння.
Загальним розв¢язком диференціального рівняння (1) або (1а) називається функція y = j (x, С), яка є розв¢язком цього рівняння при будь-яких допустимих значеннях сталої С, і для будь-якої початкової умови y(x0 ) = у0 існує єдине значення С = С0, при якому розв¢язок y = j (x, С0 ) задовольняє задану початкову умову.
Частинним розв¢язком називається будь-який розв¢язок y = j (x, С0), який дістаємо з загального розв¢язку при конкретному значенні С = С0.
Задача, в якій потрібно знайти частинний розв¢язок рівняння (1а), який задовольняє умову y(x0 )= у0, називається задачею Коши.
Загальному розв¢язку y = j (x,С) на площині хОу відповідає сім¢я інтегральних кривих, залежних від одного параметра - довільної сталої С, а частинному розв¢язку, що задовольняє початкову умову y(x0) = у0 - крива цієї сім¢ї, що проходить через точку (х0, у0).
Якщо функція f і її похідна f¢у в області D, то розв¢язок диференціального рівняння (1а) за умови y(x0) = у0 існує, і єдиний, тобто через точку (х0, у0) проходить єдина інтегральна крива даного рівняння (теорема Коши).
Диференціальне рівняння другого порядку має вигляд:
F (x, y¢, y¢¢) = 0 (2)
або y¢¢ = f (x, y, у ¢) (2a)
Задача Коши для рівняння (2а) формулюється так: знайти той розв¢язок y = j (x), який задовольняє початкові умови
y (x0) = у0, y¢ (x0) = у¢0 (3)
тобто треба знайти ту інтегральну криву, яка проходить через задану точку (х0, у0), і її дотична в цій точці має кутовий коефіциєнт у¢0.
Загальним розв¢язком диференціального рівняння (2) або (2а) називається функція y = j (x, С1, С2), або Ф(x, y, C1, C2) = 0, яка задовольняє умовам:
1) вона перетворює рівняння в тотожність при довільних С1, С2;
2) при довільних початкових умовах (3) знайдуться такі С1, і С2, при яких початкові умови (3) будуть задовільнені.
Частинний розв¢язок одержується із загального при знаходженні певних значень С1, і С2 за допомогою початкових умов (3).
П р и к л а д 1. Перевірити, що задана функція є розв¢язком відповідного диференціального рівняння:
а) y = 2e3x, y¢ - 3 = 0
b) y = 4x + 3x2, y¢¢ - 
Р о з в¢ я з о к.
а) Знайдемо похідну у ¢ = 6е3х і підставимо її значення і значення самої функції у = 2е3х у задане рівняння. Дістанемо тотожність
6е3х - 3 × 2е3х º 0
 |
б) Двічі диференцюючи задану функцію, дістаємо у ¢ = 4 + 6х і у ¢¢ = 6. Підставляючи значення у¢¢, у¢ і у в задане рівняння, маємо тотожність:
 |
П р и к л а д 2. Методом виключення параметра скласти диференціальне рівняння:
Р о з в¢ я з о к.
а) Диференцюючи це рівняння по х, одержимо
 |
Помножимо обидві частини на х:
Підставляючи в рівняння сім¢ї, знайдемо:
хуу¢ - у2 = 1.
б) Обчислимо
у ¢ = А cos (x + j) i y ¢¢ = - A sin (x + j).
Звідси дістаємо
у = -у ¢¢, або у¢¢ + у = 0.
¨До прикладів 21-70
Поиск по сайту: