АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Однорідні рівняння. Функція f (х; у) називається однорідною функцієй своїх аргументів виміру n, якщо справедлива тотожність

Читайте также:
  1. Бюджетні обмеження споживача, бюджетне рівняння та фактори впливу на бюджетну лінію.
  2. Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
  3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної.
  4. Грошовий обіг та його закони. Рівняння грошової та товарної мас (рівняння Ірвена Фішера). Грошові агрегати.
  5. Диференціальне рівняння кривої, яка в кожній точці має задану дотичну
  6. Диференціальні рівняння вищих порядків
  7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ МЕТОД ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ
  8. Диференціальні рівняння другого порядку
  9. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними
  10. Диференціальні рівняння з відокремленими і відокремлюваними змінними
  11. Диференціальні рівняння першого порядку з
  12. Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку

 

 
 

Функція f (х; у) називається однорідною функцієй своїх аргументів виміру n, якщо справедлива тотожність

 
 

Наприклад, функція f (х; у) = х3- х2у + у3 є однорідна функція третього виміру, так як

 

 

 
 

При n = 0 маємо функцію нульового виміру. Наприклад,

є однорідна функція нульового виміру, так як

 
 

Диференціальне рівняння вигляду у ¢ = f (х, у) називається однорідним відносно х і у, якщо f (х, у) є однорідна функція своїх аргументів нульового виміру. Однорідне рівняння завжди можна представити у вигляді:

Підстановка u = , де u(x) - нова невідома функція, приводить однорідне рівняння до рівняння з відокремлюваними змінними. Дійсно, якщо u = , то у = u х і у ¢ = u¢ х + u.

 
 

Підставляючи це в рівняння (1), одержимо хu¢ + u = j (u), тобто

Після інтегрування (2) підставимо замість u і одержимо загальний інтеграл даного рівняння.

Потрібно мати на увазі, що формула (2) не охоплює тих частинних розв¢язків, для яких при якому-небудь значенні u = u0 виконана рівність

j(u0) - u0 = 0, тобто j(u0) = u0.

Ці частинні розв¢язки мають рівняння у = u0х (пряма, що проходить через початок координат).

П р и к л а д 5. Розв¢язати рівняння 2 х 2 dy = (x 2 + y 2) dx.

 
 

Р о з в¢ я з о к. Розділимо обидві частини рівняння на х 2 dx, одержимо:

Це однорідне рівняння. Покладемо в ньому у = uх і у ¢ = u¢х + u. Маємо рівняння з відокремлюваними змінними:

2хu¢ + 2 u = 1 + u2, звідси або

Інтегруємо його:

 

 

 
 

Підставляючи замість u, одержимо загальний інтеграл даного рівняння

При відокремлюванні змінних ми ділили на х і на (u-1)2, що можливо при х ¹ 0 і u ¹ 1. Безпосередньою перевіркою легко впевнетись, що х = 0 і u = 1, тобто у = х, також є розв¢язками даного рівняння, але вони не входять в загальний інтеграл.

¨¨¨


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)