АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Диференціальні рівняння з відокремленими змінними

Читайте также:
  1. Бюджетні обмеження споживача, бюджетне рівняння та фактори впливу на бюджетну лінію.
  2. Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
  3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної.
  4. Грошовий обіг та його закони. Рівняння грошової та товарної мас (рівняння Ірвена Фішера). Грошові агрегати.
  5. Диференціальне рівняння кривої, яка в кожній точці має задану дотичну
  6. Диференціальні рівняння вищих порядків
  7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ МЕТОД ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ
  8. Диференціальні рівняння другого порядку
  9. Диференціальні рівняння з відокремленими і відокремлюваними змінними
  10. Диференціальні рівняння першого порядку з
  11. Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку

 

Означення: Диференціальні рівняння вигляду

M(x) dx +N(y)dy=0 (1)

називаються диференціальними рівняннями з відокремленими змінними.

 

Загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд

∫M(x)dx + ∫N(y)dy=C (2)

і розв’язок задачі Коші з початковими умовами х = х0, у = у0 має вигляд

(3)

Диференціальні рівняння з відокремленими змінними зводяться до знаходження інтегралів.

 

Приклад 1:

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

 

Розв'язування

Це є рівняння з відокремленими змінними

Загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд

Інтегруючи, одержимо

 

Відповідь:

 


Приклад 2. Розв'язати рівняння

Розв'язування

Це є рівняння з відокремленими змінними

 

Змінні тут розділені. Інтегруючи, отримаємо

отримаємо

або

Так як С довільна величина, то можна позначити 2С через , взявши до уваги, що ліва частина рівності додатня.

Тоді рівняння прийме вигляд:

Це і є загальний розв'язок або, як говорять, загальний інтеграл даного диференціального рівняння.

З геометричної точки зору ми отримали сімейство (сукупність) концентричних кіл з центром в початку координат і радіусом, рівним С.

(Зрівняйте отримане рівняння з відомим рівнянням кола вигляду:

Відповідь:

 

Приклад 3. Розв'язати рівняння

Розв'язування

Змінні тут розділені. Інтегруючи, отримаємо:

отримаємо:

або

 

довільну змінну С можна позначити через

тоді

Подамо в правій частині рівняння суму логарифмів в вигляді логарифма добутку

звідки

Це і є загальний інтеграл даного диференціального рівняння.

З геометричної точки зору ми отримали рівняння сукупності прямих, центром яких є точка М(1;-1) з кутовим коефіцієнтом С.

Відповідь:

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)