АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Диференціальні рівняння з відокремленими і відокремлюваними змінними

Читайте также:
  1. Бюджетні обмеження споживача, бюджетне рівняння та фактори впливу на бюджетну лінію.
  2. Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
  3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної.
  4. Грошовий обіг та його закони. Рівняння грошової та товарної мас (рівняння Ірвена Фішера). Грошові агрегати.
  5. Диференціальне рівняння кривої, яка в кожній точці має задану дотичну
  6. Диференціальні рівняння вищих порядків
  7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ МЕТОД ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ
  8. Диференціальні рівняння другого порядку
  9. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними
  10. Диференціальні рівняння першого порядку з
  11. Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку

Рівняння, яке має вигляд

φ(y)dy = f (x)dx, (6)

тобто перед диференціалами знаходяться функції, які залежать тільки від відповідної змінної, називається диференціальним рівнянням з відокремле­ними змінними.

Шляхом інтегрування рівності (6) отримують загальний інтеграл рівняння:

φ (y)dy = f (x)dx + C.

При можливості з отриманого виразу знаходять загальний розв'язок y = φ(x,C).

Рівняння

M1(x) · N1(y)dx + M2(x) · N2(y)dy = 0,

y’ = M(x) · N(y) (7)

називають рівняннями з відокремлюваними змінними. За допомогою тото­жних перетворень вони зводяться до диференціальних рівнянь з відокремле­ними змінними (треба пам'ятати, що ):

,

(8)

2.2.Однорідні рівняння

Функція f(x; у) називається однорідною п -го виміру, якщо має місце то­тожність при будь-якому значенні λ:

f (λx,λy) = λn · f (x,y)

Наприклад, функція є однорідною нульового виміру, тому що

Рівняння у’ = f{x,у) є однорідним диференціальним рівнянням пер­шого порядку, якщо f(х,у) - однорідна функція нульового виміру.

Довільне однорідне диференціальне рівняння можна перетворити до ви­разу тобто похідну визначити як функцію відношення змінних

(9)

Однорідні диференціальні рівняння розв'язують за допомогою заміни

, (10)

звідки

y = u · x; y’ = u’ · x +u. (11)

Вирази (11) підставляють у рівність (9) і отримують рівняння з відокрем­люваними змінними відносно и(х) і x.

Рівняння вигляду M(x,y)dx +N(x,y)dy = 0 буде однорідним, якщо М(x,у) і N(x,y) - однорідні функції однакового виміру, наприклад:

(2х + 3y)dx + (х - 2y)dy = 0,

2 + у2)dx - 2xydy.

До однорідного диференціального рівняння зводиться рівняння, яке має вигляд:

y’ ) (12)

Якщо a1b2 – a2b1 = 0,рівність (12) перетворюють до однорідного рівняння (9) за допомогою заміни x= x1 + α; y1 + β, де (α,β) – точка перетину прямих і a1x + b1y + c1 = 0 і a2x + b2y + c2 = 0.

Коли a1b2 – a2b1 = 0, то підстановка a1x + b1y = t дозволяє отримати рівняння з відокремлюваними змінними.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)