Диференціальні рівняння з відокремленими і відокремлюваними змінними

Рівняння, яке має вигляд

φ(y)dy = f (x)dx, (6)

тобто перед диференціалами знаходяться функції, які залежать тільки від відповідної змінної, називається диференціальним рівнянням з відокремле­ними змінними.

Шляхом інтегрування рівності (6) отримують загальний інтеграл рівняння:

∫ φ (y)dy = ∫ f (x)dx + C.

При можливості з отриманого виразу знаходять загальний розв'язок y = φ(x,C).

Рівняння

M₁(x) · N₁(y)dx + M₂(x) · N₂(y)dy = 0,

y’ = M(x) · N(y) (7)

називають рівняннями з відокремлюваними змінними. За допомогою тото­жних перетворень вони зводяться до диференціальних рівнянь з відокремле­ними змінними (треба пам'ятати, що ):

,

(8)

2.2.Однорідні рівняння

Функція f(x; у) називається однорідною п -го виміру, якщо має місце то­тожність при будь-якому значенні λ:

f (λx,λy) = λn · f (x,y)

Наприклад, функція є однорідною нульового виміру, тому що

Рівняння у’ = f{x,у) є однорідним диференціальним рівнянням пер­шого порядку, якщо f(х,у) - однорідна функція нульового виміру.

Довільне однорідне диференціальне рівняння можна перетворити до ви­разу тобто похідну визначити як функцію відношення змінних

(9)

Однорідні диференціальні рівняння розв'язують за допомогою заміни

, (10)

звідки

y = u · x; y’ = u’ · x +u. (11)

Вирази (11) підставляють у рівність (9) і отримують рівняння з відокрем­люваними змінними відносно и(х) і x.

Рівняння вигляду M(x,y)dx +N(x,y)dy = 0 буде однорідним, якщо М(x,у) і N(x,y) - однорідні функції однакового виміру, наприклад:

(2х + 3y)dx + (х - 2y)dy = 0,

(х² + у²)dx - 2xydy.

До однорідного диференціального рівняння зводиться рівняння, яке має вигляд:

y’ ) (12)

Якщо a₁b₂ – a₂b₁ = 0,рівність (12) перетворюють до однорідного рівняння (9) за допомогою заміни x= x₁ + α; y₁ + β, де (α,β) – точка перетину прямих і a₁x + b₁y + c₁ = 0 і a₂x + b₂y + c₂ = 0.

Коли a₁b₂ – a₂b₁ = 0, то підстановка a₁x + b₁y = t дозволяє отримати рівняння з відокремлюваними змінними.

Поиск по сайту: