Диференціальні рівняння першого порядку з

відокремлювальнимизмінними

Якщо кожна частина диференціального рівняння являє собою добуток деякого виразу, залежного від однієї змінної, на диференціал цієї змінної, то говорять, що змінніу рівнянні відокремлені;

наприклад, x dx = y dy.

В цьому випадку рівняння можна інтегрувати почленно.

Означення: Рівняння, в яких змінні розділяються, називаються диференціальним рівнянням з відокремлювальними змінними.

Для того щоб розв'язати диференціальне рівняння з відокремлювальними змінними, потрібно відокремити змінні, а потім взяти інтеграл від обох частин рівняння.

Розглянемо декілька прикладів.

Приклад 4. Розв'язати диференціальне рівняння x dy = y dx

Знайти загальний і частинний розв'язки, якщо при х=5, у =10.

Розв'язування

Це рівняння з відокремлювальними змінними.

Для відокремлення змінних обидві частини рівняння поділимо на вираз ху, одержимо:

.

Інтегруючи обидві частини останнього рівняння, знайдемо

,

або

ln│y│=ln│x│+ln │C│.

(В правій частині стале C подамо у вигляді ln │C│ для зручності потенціюваня.) Потенціюючи рівність, отримаємо:

│у│=│Cx│,

або у = ± Сх.

Одержали загальний розв'язок рівняння в вигляді

y = Сх

(знаки ± можна опустити, оскільки С довільна стала).

Для знаходження частинного розв'язку рівняння знайдемо значення сталого С, підставивши в одержане рівняння початкові умови: х=5 та у=10

10 = 5С,

звідси

С=2.

Отже,

y =2х. - частинний розв'язок.

Відповідь: y = Сх - загальний розв'язок рівняння;

y =2х. - частинний розв'язок.

Приклад 5. Розв'язати рівняння , якщо при х=0, у=4.

Розв'язування

Це рівняння з відокремлювальними змінними.

Домножимо обидві частини рівняння на d wsp:val="00FD1720"/><wsp:rsid wsp:val="00FF5919"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="006C25F4"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>dx</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> :

Відокремимо змінні, тобто зберемо в лівій частині функцію, що залежить від у разом з , а в правій - функцію від d wsp:val="00FD1720"/><wsp:rsid wsp:val="00FF5919"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00971E2A"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>x</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> разом з d wsp:val="00FD1720"/><wsp:rsid wsp:val="00FF5919"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00D9780E"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>dx</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> .

Для цього рівність поділимо на вираз :

.

Знайдемо інтеграл від лівої і правої частини рівняння

або

ln│y-3│=2x+ ln│C│.

Для потенціювання потрібно і праву частину останньої рівності написати зі знаком логарифма. Згідно означення логарифма маємо:

;

Тоді загальний розв'язок можна переписати у вигляді

ln│y-3│= ln + ln │C│;

потенціюючи, отримуємо:

,

тобто

- загальний розв'язок рівняння.

Розв'яжемо задачу Коші.

При х=0, у=4

С=1.

Тоді,

- частинний розв'язок.

Відповідь: - загальний розв'язок рівняння;

- частинний розв'язок.

Приклад 6.

Розв'язати диференціальне рівняння Знайти загальний і частинний розв'язки, якщо при х=0; у =5.

Розв'язування

Це рівняння з відокремлювальними змінними.

Розпишемо похідну, як відношення диференціалів:

;

,

домножимо обидві частини рівняння на dx

.

Відокремимо змінні, тобто зберемо в лівій частині функцію, що залежить від y разом з , а в правій - функцію від d wsp:val="00FD1720"/><wsp:rsid wsp:val="00FF5919"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00E74B62"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>x</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> разом з d wsp:val="00FD1720"/><wsp:rsid wsp:val="00FF5919"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="008D4591"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>dx</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> .

/ ,

Знайдемо інтеграл від лівої і правої частини рівняння

; .

Підставимо,

- загальний розв'язок диференціального рівняння.

Розв'яжемо задачу Коші.

При х=0, у=5

C=5.

Тоді,

- частинний розв'язок.

Відповідь: - загальний розв'язок рівняння;

- частинний розв'язок.

Приклад 7. Розв'язати диференціальне рівняння

Розв'язування

Розділивши всі члени рівняння на добуток отримаємо:

Тепер змінні розділені; інтегруючи, будемо мати:

Тут довільна змінна С замінена на Скорочуючи всі члени рівняння на отримаємо:

звідки

Це і є загальний інтеграл чи загальний розв'язок даного диференціального рівняння.

Відповідь: загальний розв'язок даного диференціального рівняння.

Приклад 8. Знайти частинний розв'язок рівняння

при

Розв'язування

Відокремимо змінні, поділивши ліву і праву частини рівняння на

Інтегруємо:

або

(тут С замінено lnC)

потенціюючи, отримаємо

-- це загальний інтеграл даного диференціального рівняння.

Розв'яжемо задачу Коші.

Згідно умови, будемо мати

звідки

При цій умові із загального інтеграла отримуємо:

чи

Це і є частинний інтеграл даного диференціального рівняння. В ньому немає випадкової змінної С.

-- рівняння параболи, вершина якої лежить в точці (-1;0), вісь симетрії параболи симетрична осі

Відповідь: загальний розв'язок даного диференціального рівняння.

Вправи I

Знайти частинні розв'язки рівнянь:

1. ds = (4t-3)dt, якщо при t=0 s=0.

2 dx = (2t²-5)dt, якщо при t=1 x=-4.

3. x dx = dy, якщо при x=1 у=0.

4. x dx= y dy, якщо при x=2 y=1.

5. x²d x+ y dy = 0, якщо при х=0 у=1.

6. (t-1)dt +s ds = 0, якщо при t=2 s=0.

7. якщо при x=1 y= .

8. якщо при х=0 у=2.

9. 2s dt = t ds, якщо при t=1 s=2.

10. х²dy - y²dx = 0, якщо при х=0,2 у=1.

11. х³dy = y³dx, якщо при х= у= .

12. якщо при х=0 у=0.

13. dy + x dx =2 dx, якщо при х=1 у=1,5.

14. якщо при х=-1 у=1.

15. (t+1)dx = 2x dt, якщо при t=1 x=4.

16. якщо при х=0 у=0.

17. , якщо при х=0 у=1.

18. , якщо при х=0 у=3.

19. , якщо при х=0 у=1.

20. , якщо при х=0 у=1.

21. , якщо при х=5 у=0.

22. , якщо при х= у= .

23. , якщо при х=0 у=4.

24. , якщо при х=0 у=1.

25. якщо у=2 при х=1

Знайти загальний розв'язок рівнянь:

26.

27. (ху² + х)dx + (x²y - y)dy = 0

28. (у - х²у)dy + (x + xy²)dx = 0.

29. (1+x²)dy - (xy + x)dx = 0.

30. y dx + (1 - y)x dy = 0.

31. x²dy + (y -1)dx = 0.

32. 2(xy + y)dx = x dy.

33. (x²+1)dy = y dx.

34. x²y' - 2xy = 3y.

35. Написати рівняння кривої, яка проходить через точку А (1;2), якщо кутовий коефіцієнт дотичної в кожній її точці дотику дорівнює

36. Написати рівняння кривої, яка проходить через точку А (2;1), якщо кутовий коефіцієнт дотичної в кожній її точці дотику дорівнює

37. Знайти рівняння кривої, що проходить через точку А(3;1) і має дотичну, кутовий коефіцієнт якої дорівнює 2х-1.

38. Написати рівняння кривої, яка проходить через точку А(4;3), якщо кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці дотику.

39. Написати рівняння кривої, яка проходить через точку А (1;3), якщо кутовий коефіцієнт дотичної в кожній її точці дотику дорівнює

Поиск по сайту: