Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Означення: Рівняння виду P dx + Q dy = 0, (1)

де Р і Q- однорідні функції, х і у однакового степеня, називаються однорідним диференціальним рівнянням першого порядку.

Для інтегрування таких рівнянь проводять заміну змінних, покладаючи , тобто

.

Ця підстановка зводить до диференціального рівняння відносно і , в якому змінні відокремлюються, після чого можна інтегрувати.

Для отримання кінцевої відповіді потрібно змінну замінити на

Наприклад, рівняння однорідне, так як множники при і одного степеня, в даному випадку другого, рахуючи по обох змінних та відразу.

Перевіримо це. Перепишемо рівняння так:

Розділимо обидві частини рівняння на добуток

тоді

Розділивши тепер чисельник і знаменник дробу (в лівій частині рівності) на отримаємо:

Отже, похідна

звідси, наше рівняння однорідне.

Покажемо на прикладі, як розв’язувати такі рівняння.

Приклад 9. Розв'яжіть рівняння (2)

Розв'язування

Зведемо рівняння (2) до виду (1), помноживши обидві його частини на dx:

отримаємо:

;

або

у²dx + (x²-xy)dy = 0. (3)

У рівнянні (3)

Р = у² і Q = x² - xy

Як бачимо, Р і Q - однорідні функції х та у, причому обидві функції другого степеня; тому рівняння (2) однорідне.

Із рівняння (3) знайдемо :

/(-1)

(4)

Нехай

(5)

де z- нова функція х. Знайшовши z, ми отримаєм із рівності (5) шукану функцію

Для пошуку z продиференціюємо по х рівняння (5), застосувавши правило похідної :

,

де d wsp:val="00FD1720"/><wsp:rsid wsp:val="00FF5919"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="004E3475"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>x'=1</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , а ,

тоді запишемо

(6)

Підставимо у рівняння (4) значення у і dy, взяті з рівняння (5) і (6)

(4)

одержимо

.

В одержаному рівнянні розділимо змінні:

домножимо обидві частини рівняння на d wsp:val="00FD1720"/><wsp:rsid wsp:val="00FF5919"/></wsp:rsids></w:docPr><w:body><w:p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00AF2330"><m:oMathPara><m:oMath><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>dx</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

домножимо обидві частини рівняння на :

або

Відокремивши змінні у рівнянні, проінтегруємо його обидві частини:

.

В результаті інтегрування отримаємо:

, ( 7 )

де С запишемо як ,

Тепер рівняння набуде вигляду

,

С,

або

(8)

Із рівності (5) знаходимо :

Замінивши у рівнянні (8) z знайденим його значенням, отримаємo

або

(9)

Рівняння - загальний розв'язок рівняння (2).

Відповідь: - загальний розв'язок диференціального рівняння.

Приклад 10. Розв'язати рівняння

Розв'язування

Так як це рівняння однорідне, то робимо підстановку

Диференціюємо

або

(похідна ).

Зведемо дане рівняння до вигляду (дивись перетворення у попередньому завданні)

замінимо в ньому і їхніми значеннями:

, у правій частині рівняння зведемо до спільного знаменника

або

Відділяємо змінні, помноживши обидві частини рівності на , отримаємо

у правій частині рівності почленно поділимо чисельник на знаменник

Інтегруємо:

(замість С підставлено );

Замінимо на тоді

де

Замінюючи на С, отримаємо

Відповідь: - загальний розв'язок диференціального рівняння.

Приклад 11. Розв'язати рівняння

Розв'язування

Перепишемо рівняння так:

Ясно, що означає, рівняння однорідне.

Отже, звідки

Диференціюємо:

або

де ,

Замінюючи в рівнянні і їх значеннями, будемо мати:

Розділяючи змінні, маємо

Інтегруємо:

Замінюючи на отримаємо:

Це і є загальний інтеграл даного диференціального рівняння.

Відповідь: - загальний розв'язок диференціального рівняння.

Поиск по сайту: