Лінійні диференціальні рівняння

Означення: Лінійними диференціальними рівняннями називаються такі рівняння, які містять невідому функцію і її похідну тільки в першій степені.

Такі рівняння мають вигляд:

або

Якщо то рівняння називається лінійним рівнянням без правої частини.

Для розв’язування лінійних рівнянь користуються підстановкою де і -- деякі функції від : тобто, розкладається на два множника.

Маємо на увазі, що ця операція не повністю визначена. Наприклад, якщо то цю функцію можна розкласти на множники багатьма способами:

і т.д.

Через це, покладаючи один із множників можна вибрати довільно.

Розглянемо розв’язування лінійних рівнянь на прикладах.

Приклад 12. Розв’язати рівняння

Розв'язування

Тут -- рівняння лінійне; отже

тоді

замінюючи і їх значеннями, отримаємо:

Виносячи в другому і третьому доданках з а дужки, рівняння перепишемо так:

Виберемо так, щоб вираз в дужках перетворився на нуль. Це справедливо, так як співмножник в рівності беремо довільно.

Нехай

розділяємо змінні, маємо:

довільну змінну С можна не писати (в даному випадку беремо змінну, рівну 0).

Тепер рівняння набуде вигляду

,

,

.

(Тут С писати обов’язково, інакше вийде не загальний розв'язок, а частинний). Тепер знайдемо шукану функцію, пам’ятаючи, що

або

Відповідь:

Примітка. Підстановка не завжди приводить до простого способу рішення.

Рівняння дане в прикладі 1, можна розв’язати по іншому.

Перемножимо всі члени рівняння на тоді отримаємо:

Ліва частина рівняння є похідна добутку:

або

звідси

(відповідь така ж).

Приклад 13. Розв’язати рівняння

Розв'язування

Нехай

диференціюємо:

Тепер наше рівняння прийме вигляд:

або

Покладемо

Розділяючи змінні, отримаємо:

Інтегруємо:

(довільну сталу С не пишемо)

Тепер рівняння

набуде вигляду:

відокремимо змінні

проінтегруємо:

Скористаємось способом підстановки, знайдемо інтеграл :

;

Підставимо знайдене значення і в рівність :

спрощуючи, отримаємо

Відповідь:

Приклад 14. Розв’язати рівняння

Розв'язування

Розділимо всі члени рівняння на тоді отримаємо

Нехай

Підставимо значення y і в рівняння :

або (А)

Нехай

або

Розділяючи змінні, будемо мати .

Інтегруємо:

(Скористаємось способом підстановки, знайдемо інтеграл :

;)

довільну сталу С не пишемо,

звідси

Тепер рівняння прийме вигляд:

або

Інтегруючи, маємо

Підставляючи значення в рівність

отримаємо:

або

Відповідь:

Приклад 15. Розв’язати рівняння

Розв'язування

Це рівняння без правої частини, бо

Запишемо

.

Відокремимо змінні

,

.

Інтегруємо:

Знайдемо невизначений інтеграл методом заміни змінних:

.

або

( --довільна стала замість С).

Потенціюючи,одержимо:

Відповідь:

Поиск по сайту: