АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ МЕТОД ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ

Читайте также:
  1. A. Выявление антигенов вируса в мокроте методом ИФА.
  2. D. Генно-инженерным методом
  3. F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .
  4. FAST (Методика быстрого анализа решения)
  5. I этап Подготовка к развитию грудобрюшного типа дыхания по традиционной методике
  6. I. 2.1. Графический метод решения задачи ЛП
  7. I. 3.2. Двойственный симплекс-метод.
  8. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  9. I. Иммунология. Определение, задачи, методы. История развитии иммунологии.
  10. I. Метод рассмотрения остатков от деления.
  11. I. Методические основы
  12. I. Методические основы оценки эффективности инвестиционных проектов

3.1.Рівняння y(n) = (x)розв'язується шляхом інтегрування п разів по­слідовно:

3.2.Рівняння ,тобто рівняння другого порядку, яке не має змінної y, розв'язують шляхом зниження його порядку за допомогою заміни .Отримуємо рівняння першого порядку відносно змін­них р і х. Знаходимо його розв'язок і потім шукану функцію у(х) шляхом його інтегрування:

.

3.3.Рівняння другого порядку, в якому відсутня змінна х, тобто рів­няння по аналогії розв'язують за допомогою заміни:

Приклад 7. Знайти загальний розв'язок рівняння уm - х- sin2x.

Розв'язування. Маємо рівняння третього порядку, яке приводимо до вигляду і потім тричі послідовно інтегруємо:

Приклад 8. Розв'язати рівняння

Розв’язування. Це рівняння другого порядку, в якому відсутня змінна у. Зни­жуємо його порядок за допомогою підстановки y' = р(х); у" = р’(х). Одержуємо лі­нійне рівняння

Розв'язок цього рівняння шукаємо у вигляді p = u - v.

1) 2)

Повертаючись до змінної у, отримуємо рівняння

Його розв'язок після інтегрування:

Приклад 9. Знайти частинний розв'язок рівняння , який задо­вольняє умовам: y(0) = 1; y’(0) = -1.

Розв'язування. Рівняння другого порядку, яке не має змінної х. Поклавши після підстановки дістанемо диференціальне рівняння з відо­кремлюваними змінними

1) 2)

Знайшли загальний розв'язок рівняння. Для знаходження частинного розв'язку треба визначити значення С1 і С2 на основі початкових умов. Маємо:

Частинний розв'язок рівняння приймає вигляд

4.1.Лінійні однорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами

Рівняння

(19)

де - дійсні числа,називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням n -го порядку із сталим коефіцієнтами.

Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку

(20)

де p, q – дійсні числа.

Характеристичне рівняння по відношенню до цього рівняння має вигляд:

(21)

Загальний розв'язок диференціального рівняння (20) залежить від вигляду коренів характеристичного рівняння (21):

(22)

Маємо три випадки значень

Корені характеристичного рівняння дійсні і різні (D > 0). Тоді загальний розв'язок диференціального рівняння (20) приймає вигляд

(23)

Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні (D=0),

Тоді (24)

Корені характеристичного рівняння комплексні

Приклад 10. Знайти загальний розв'язок рівняння

Розв'язування. Складаємо відповідне характеристичне рівняння:

Знаходимо його корені за формулою (22):

Маємо третій випадок (корені комплексні,

Загальний розв'язок рівняння


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.011 сек.)