Приклади розв'язування диференціальних рівнянь першого порядку

Приклад 1. Знайти загальний розв'язок рівняння

Розв'язування. Визначаємо, що маємо диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними(нагадує вираз(7)). Зводимо рівняння до вигляду (6):

Інтегруємо отриману рівність:

У цьому прикладі доцільно було довільно сталу С замінити на .

Далі отримуємо ,звідки загальний розв'язок приймає вигляд

Приклад 2. Знайти частинний розв'язок рівняння коли .

Розв'язування. Маємо рівняння з відокремлюваними змінними. Ділимо рівняння на ,отримуємо .

Інтегруємо цей вираз і визначаємо:

Підставляємо початкову умову в отриманий загальний розв'язок:

C = 2.

Частинний розв'язок приймає вигляд

Приклад 3. Розв'язати рівняння

Розв'язування. Шляхом ділення рівняння на змінну х отримуємо однорідне ди­ференціальне рівняння (похідна залежить від відношення ):

Робимо заміну:

Підставляємо ці значення у задане рівняння і розв'язуємо отримане диференці­альне рівняння з відокремлюваними змінними:

Отримали загальний інтеграл рівняння.

Звідси — загальний розв'язок.

Приклад 4. Знайти загальний розв'язок рівняння

Розв'язування. Визначаємо, що маємо лінійне диференціальне рівняння (13). Робимо заміну

Після підстановки отримуємо:

Послідовно розв'язуємо наступні два рівняння:

1) 2)

Загальний розв'язок рівняння:

Приклад 5. Знайти розв’язок задачі Коші

Розв'язування. Поділивши обидві частини рівняння на добуток , отри­муємо лінійне диференціальне рівняння:

Робимо заміну:

Маємо

1) 2)

Загальний розв'язок:

Знайдемо значення сталої C, при якому частинний розв'язок задовольняє поча­ткову умову:

Частинний розв’язок:

Приклад 6. Розв’язати рівняння

Розв'язування. Враховуючи ,що рівняння приводимо до (12):

Визначаємо, що

Знаходимо точку перетину прямих:

Маємо

Робимо заміну

Тоді і задане рівняння приймає вигляд

Отримали однорідне диференціальне рівняння. Покладаємо:

Розв'язуємо отримане рівняння з відокремлюваними змінними:

Підставляючи значення t,x₁,y₁ дістаємо загальний розв'язок рівняння:

Поиск по сайту: