|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Метод варіації довільних сталих. Цей метод універсальний, тому що його можливо застосовувати для довільної правої частини (х) рівняння (27)Цей метод універсальний, тому що його можливо застосовувати для довільної правої частини (х) рівняння (27). Згідно з цим методом спочатку знаходять загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння (33) Загальний розв'язок заданого рівняння шукають у вигляді (34) де С1 (х), С2 (х) - невідомі функції. Для знаходження С1 (х) і С2 (х) складають і розв'язують систему лінійних рівнянь відносно похідних і цих функцій: (35) Інтегруючи отримані значення , знаходять С1 (х) і С2 (х), а потім, за формулою (34) - загальний розв'язок рівняння (27). Приклад 11. Розв'язати рівняння Розв'язування. Маємо неоднорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Враховуючи, що права частина - раціональна функція, приймаємо метод невизначених коефіцієнтів, тобто розв'язок рівняння шукаємо у вигляді . Складаємо характеристичне рівняння і визначаємо його корені: Тоді Частинний розв'язок y* (праву частину представляємо у вигляді де знаходимо у вигляді r = 1 тому що a = k1 = 0. Знаходимо частинні похідні i отримані значення підставляємо у задане рівняння: Складаємо систему рівнянь відносно А,В,С, прирівнюючи коефіцієнти при х2, х і вільні члени в отриманій рівності Визначаємо, що ; ; Тоді Загальний розв'язок рівняння Приклад 12. Знайти частинний розв'язок рівняння який задовольняє початкові умови: y(0) = 4; y’(0) = 1. Розв'язування. Можливо застосувати метод невизначених коефіцієнтів, тому що . Знаходимо загальний розв'язок yод відповідного однорідного рівняння: Частинний розв'язок . У даному випадку r = 0, хоч але Маємо Ці значення підставляємо у задане рівняння:
Таким чином, і загальний розв’язок приймає вигляд Для знаходження частинного розв'язку рівняння використовуємо задані початкові умови, але спочатку визначаємо похідну Підставляємо значення x = 0; у = 4; у’ = -1 у отримані вирази і дістаємо систему рівнянь для знаходження ⤳ Частинний розв'язок При застосуванні методу невизначених коефіцієнтів головним є правильне знаходження частинного розв'язку у*. На наступних прикладах розглянемо види у* в залежності від a) — корені характеристичного рівняння Права частина - сума двох функцій, тому тому що б) — корені характеристичного рівняння Частинний розв’язок тому що в) — корені характеристичного рівняння . Права частина має вигляд третього випадку . Враховуючи, що , тобто r=1, частинний розв’язок приймає вигляд Приклад 13. Знайти загальний розв'язок рівняння Розв'язування. Права частина рівняння не відповідає умовам застосування методу невизначених коефіцієнтів, у зв’язку з цим будемо його розв'язувати методом варіації довільних сталих. Корені характеристичного рівняння , тому шукаємо загальний розв'язок рівняння у вигляді Система (35) у цьому випадку приймає вигляд Розв'язуючи цю систему, отримаємо: Звідки Тоді загальний розв'язок рівняння або, після перетворення, Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |