РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ТА ФІЗИЧНИХ ЗАДАЧ

Теорію диференціальних рівнянь застосовують для розв'язування геомет­ричних та фізичних задач. Розглянемо деякі з них.

Приклад 15. Знайти рівняння лінії, яка проходить через точку М(1;0) і для якої квадрат довжини відрізка, який визначається відстанню від початку координат до точки перетину з віссю ординат довільної дотичної, дорівнює добутку координат точки дотику.

Розв'язування. На шуканій лінії беремо довільну точку М(х;у) і проводимо дотичну в цій точці NА (рис. 1). За умовою прикладу

Рис.1

За означенням похідної

Враховуючи,що

отримуємо або

Дістали однорідне диференціальне рівняння першого порядку, тому що

Знаходимо його розв'язок:

Загальний розв'язок таким чином дістали множину ліній, які задо­вольняють умови прикладу. Із цієї множини знаходимо певну криву, яка проходить через точку М(1;0), тобто частинний розв'язок рівняння, який задовольняє почат­кову умову, у(1)= 0.

Маємо .

Тоді рівняння шуканої лінії має вигляд

Приклад 16. Експериментально встановлено, що швидкість радіоактив­ного розпаду речовини пропорційна її кількості в даний момент часу. Знайти закон зміни маси речовини від часу, якщо при маса речовини дорівню­вала m₀.

Розв'язування. Нехай m=m(t) маса речовини в момент часу t. За умови

Де k - коефіцієнт пропорційності. Знак мінус береться тому, що з часом кількість речовини зменшується. Отримали диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Розв’язуючи це рівняння, дістаємо, що

Поиск по сайту: