F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: ^.

Решение.

Заметим, что при х=1 уравнение обращается в тождество. Следовательно, х=1 - корень уравнения. Перепишем уравнение в виде

^(*)

Так как при основании, меньшем единицы, показательная функция убывает на R, то при х левая часть уравнения (*) больше единицы, то есть

Если то левая часть уравнения меньше единицы, то есть

Поэтому, других корней, кроме х=1, уравнение не имеет.

Ответ: 1.

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение.

Это уравнение также обращается в тождество при х=1.

Перепишем уравнение в виде:

.

При основании, меньшем единицы, показательная функция убывает на R.

Поэтому при х а при х : . Таким образом, других корней, кроме х=1, уравнение не имеет.

Ответ: 1.

^{G. Графический способ решения уравнений вида f(x).}

^{Чтобы графически решить уравнение такого вида, необходимо построить графики функций y= f(x) в одной системе координат и найти (точно или приближенно) абсциссы точек (если они есть) пересечения этих графиков. Абсциссы этих точек - корни данного уравнения (точность результатов определяем только после подстановки в уравнение).}

^{Примеры.}

^{Пример 1. Решите уравнение: .}

^{Решение.}

^{1.Рассмотрим две функции: f(x) = и g(x) = x+1.}

^{2.Графиком функции f(x) = является кривая, расположенная в верхней полуплоскости, графиком функции g(x) = x+1 является прямая.}

^{3. Зададим таблицы значений этих функций:}

х	-1
f(x) =
х
g(x)= x+1

^{4. Из рисунка видно, что прямая и кривая пересекаются в двух точках- в точке А и в точке В. По графику определяем абсциссы этих точек: . Значит, уравнение имеет два корня: х=3 и х= . Число х=3 - точный корень заданного уравнения, так как при подстановке в это уравнение получается верное числовое равенство:}

^{Ответ: 3; .}

^{Пример 2 . Решите уравнение: .}

^{Решение.}

^{1. Рассмотрим две функции f(x) = и g(x) = .Используем свойства степени и преобразуем выражение :}

^{= , тогда вторую формулу можно переписать в виде: f(x) = .}

^{2. Функция f(x) = - показательная по основанию и ее графиком является кривая, расположенная в верхней полуплоскости.}

^{Функция g(x) = - прямая пропорциональность и ее график - прямая, проходящая через точку .}

^{3. Зададим таблицы значений этих функций и затем построим их графики в одной системе координат.}

х	-3	-2	-1
f(x) =
х
g(x) =

^{4. Графики пересекаются в одной точке - в точке А, ее абсцисса равна единице.Значит, х=1 - корень заданного уравнения.}

^{Примечание:}

^{Если одна часть уравнения содержит убывающую функцию f(x), а другая часть -возрастающую функцию g(x), и уравнение имеет корень х= , то он -единственный.}

^{В примере 2.: f(x) = убывающая на R функция, а g(x = - возрастающая на R функция, х=1- корень уравнения и он единственный.}

^{Ответ: 1.}

Поиск по сайту: