В. Уравнения, решаемые разложением на множители

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: x 2^x = 2 2^x + 8x-16.

Решение.

x 2^x = 2 2^x + 8x-16 <=> x 2^x - 2 2^x = 8 x-2) <=> 2^x (x-2) - 8 <=> (x-2) ^x - 8) = 0 <=> <=> <=> <=> .

Ответ:

Пример 2. Решите уравнение:

Решение.

5^2x - 7^x - 5^2x 35 +7^x = 0 <=> (5^2x - 7^x) ( (

Ответ: 0.

С. Уравнения, которые с помощью подстановки ^f(x) = t, t>0 преобразуются к квадратным уравнениям (или к уравнениям более высоких степеней).

Пусть , где А, В, С - некоторые числа. Сделаем замену: >0, тогда A ² + B + C = 0

Решаем полученное уравнение, находим значения t, учитываем условие t >0, возвращаемся к простейшему показательному уравнению ^f(x) = t, решаем его и записываем ответ.

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 2^2+x - 2^2-x = 5.

Решение.

2^2+x - 2^2-x = 5 <=> 2² 2^x - = 15 <=> 4 (2^x)² - 4 = 15 ^x

Делаем замену t = 2^x, t > 0. Получаем уравнение 4 ² - 4 = 15t <=> 4t² - 15t - 4=0

<=> , t = не удовлетворяет условию t > 0.

Вернемся к переменной х:

2^х = 4<=> 2^x = 2² <=> x=2.

Ответ: 2

Пример 2. Решите уравнение:

Решение.

5

Делаем замену: , тогда Получаем уравнение:

5 , t = не удовлетворяет условию t

Вернемся к переменной Х:

Ответ: 2.

D. Уравнения, левая часть которых имеет вид A ^nx + B ^kx b^mx + С b ^nx, где k, m N, k + m = n

Для решения уравнения такого типа необходимо обе части уравнения разделить либо на ^nx, либо на ^nx и получится уравнение типа С).

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 2 2^2x - 5 ^x + 3 3^2x = 0.

Решение.

2 2^2x - 5 ^x + 3 3^2x = 0 <=> 2 ^2x - 5 ^x 3^x + 3 3^2x = 0 <=> 2 - + 3 = 0 <=>

<=> 2 ^2x - 5 ^x + 3 = 0

Пусть t = ^x, t>0, тогда 2 t- 5t + 3 = 0 <=> , оба значения t удовлетворяют условию t Вернемся к переменной х:

<=> <=> .

Ответ:

Пример 2. Решите уравнение: 8^x + 18^x - 2 27^x = 0.

Решение.

8^x + 18^x - 2 27^x = 0 <=> + - 2 = 0 <=> 2^3x + 2^x 3^2x - 2 3^3x = 0<=>

<=> + - 2 = 0 <=> + - 2 = 0.

Пусть = t, t>0, тогда t³ + t - 2 = 0<=> (t³ - 1) + (t -1)= 0 <=> (t-1) (t² +t +1) + (t - 1) <=> (t - 1) (t² + t +2) = 0 <=> <=> t - 1= 0 <=> t=1. (t>0)

Вернемся к переменной х: = 1 <=> = x = 0.

Ответ: 0.

К данному типу уравнений относятся уравнения, левая часть которых имеет вид , где А, В, С -некоторые числа, причем .

Уравнения такого типа решаются с помощью подстановки:

= t, тогда = .

Пример 3. Решите уравнение:

Решение.

Заметим, что произведение оснований степени равно единице:

(. Поэтому можно ввести новую переменную: , причем . Получим уравнение:

t ,оба корня удовлетворяют условию: .

Вернемся к переменной х:

.

Ответ: .

Е. Уравнения, имеющие вид A a ^m = B b ^m.

Для решения необходимо обе части уравнения разделить либо на a^m, либо на b^m. В результате получается простейшее уравнение.

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 7^х = 5^х.

Решение.

7^х = 5^х <=> = 1 <=> = <=> x = 0.

Ответ: 0.

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение.

.

Ответ: 2.

Поиск по сайту: