Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным

Уравнения с параметром не выше второй степени являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий. Их общий вид определяется многочленом с параметром и не выше второй степени.

Отметим, что наиболее важным в практике являются следующие задачи:

1). Решить уравнение с параметром.

2). Найти значение параметров, при которых общее решение уравнения обладает определенными свойствами.

Контрольные значения параметра определяются уравнением и уравнением D=0. На выделенных контрольными значениями промежутках допустимых значений параметра дискриминант D имеет определенный знак. Тогда решение всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам:

1). На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.

2). На области допустимых значений параметра исходное уравнение при помощи равносильных преобразований приводятся к виду .

3). Выделяется множество контрольных значений параметра, для которых . Если уравнение имеет конечное множество решений, то для каждого найденного контрольного значения параметра существующее частное уравнение решается отдельно. Проводится классификация частных уравнений. На бесконечном множестве решений уравнения проводится решение уравнения , выделяются типы и ø особых частных уравнений. Множеству соответствует тип не особых частных уравнений.

4). Выделяются контрольные значения параметра, для которых обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень

5). Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак D. Множеству соответствует тип не особых частных уравнений, не имеющих решений, для значения параметра частные уравнения имеют два действительных корня.

7). Решить уравнение

Решение:

при

,

- единственный корень;

при ,

,

значит, для любого и уравнение имеет два различных корня .

Ответ: если , то уравнение имеет единственный корень ;

если , то уравнение имеет два различных корня , .

8). Решить уравнение .

Решение: ,

если , то уравнение не имеет смысла;

при уравнение не имеет смысла, значит, при корней нет;

если , то ,

,

,

,

,

- контрольная точка;

если , то ,

- единственный корень;

если , то ,

,

;

так как , то , если , а при уравнение не имеет смысла,

, если , значит, при .

Ответ: при корней нет;

при единственный корень ;

при единственный корень ;

при , , уравнение имеет два корня и .

9). Решить уравнение .

Решение: ,

при и уравнение не имеет смысла;

если и , то

,

,

,

,

, если , значит, - контрольная точка;

при ,

1=0, то есть, корней нет,

при ,

или ;

так как при и уравнение не имеет смысла, то

и для любого ,

и для любого .

Ответ: если , то корней нет;

если , то уравнение имеет два различных корня .

10). Решить уравнение .

Решение: ,

при , уравнение не имеет смысла;

если , то

,

,

,

;

если , , то

- единственный корень;

если , то

;

если , то корней нет;

если , то ,

так как при уравнение не имеет смысла, то

, ,

, ,

,

для любого , так как ,

, ,

,

если то , или , где - посторонний корень;

если , то - единственный корень.

Ответ: если , то уравнение корней не имеет;

если , , , то уравнение имеет единственный корень ;

если , , то уравнение имеет единственный корень ;

если , , , то уравнение имеет два различных корня

если , то корней нет.

Формулировки многих заданий помимо решения уравнения ставят задачи поиска значений параметров, для которых его общие решения и удовлетворяют одному из следующих условий:

1) оба или положительны, или отрицательны, или имеют различные знаки;

2) располагаются внутри некоторого промежутка или вне его;

3) располагаются определенным образом относительно корней другого уравнения.

В таких формулировках присутствует некоторое действительное число и требуется значение параметра, обеспечивающее для общих решений одно из требований 1) – 3).

Простой способ решения таких задач основан на справедливости следующих результатов о расположении действительного числа относительно корней и многочлена с параметром и переменной .

1. На множестве для общих решений и многочлена число удовлетворяет условию (или ):

0

0

2. На множестве для многочлена число располагается левее общих решений и для тех и только тех значений параметра, для которых и :

0 0

3. На множестве для многочлена число располагается правее общих решений и для тех и только тех значений параметра, для которых и :

0 0

11). В уравнении найти все значения а, для которых его корни удовлетворяют одному из следующих условий:

а) имеют разные знаки;

б) принадлежат промежутку (-5;3);

в) меньший корень располагается левее корней уравнения , а больший корень располагается между его корней.

Решение: ,

при уравнение имеет единственный корень ;

уравнение имеет два корня, если ,

,

, если ,

при уравнение имеет два различных корня;

а) уравнение имеет корни разных знаков, если ,

,

+ - +

1

при уравнение имеет два корня разных знаков;

б) , если

,

1

1 2

0 1

0,4 1

так как уравнение имеет два различных корня, если , то при уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку ;

в) уравнение имеет корни 1 и 4,

, если

, ,

1

0 1

1

1

корни уравнения удовлетворяют условию , если , но сами корни существуют, если , следовательно, меньший корень уравнения располагается левее корней уравнения , а больший корень располагается между его корней, если .

Ответ: если уравнение имеет два корня разных знаков;

если , то уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку ;

если , то меньший корень уравнения располагается левее корней уравнения , а больший корень располагается между его корней.

12). При каких значениях параметра корни уравнения положительны?

Решение: ,

при ,

,

;

если , то уравнение будет иметь два различных положительных корня, если

,

для любого , так как дискриминант уравнения =0 меньше нуля,

4

4

Ответ: если уравнение имеет положительные корни.

Поиск по сайту: