Показательные и логарифмические уравнения

Уравнение вида , где и называется элементарным показательным уравнением. Его областью определения служит общая часть областей определения функций и . При решением уравнения служат все числа множества . При оно равносильно системе:

при , системе:

При (, , , ) мы получим уравнение , равносильное исходному уравнению.

Для решения уравнения в случае (, ) будем исходить из того, что уравнения и , где , равносильны. Совершенно безразлично, какое положительное, отличное от единицы число, взять в качестве основания логарифма.

Решение любого показательного уравнения, сводится к нахождению корней некоторого элементарного показательного уравнения.

Уравнение вида , где , , , , называется элементарным логарифмическим уравнением. Областью определения уравнения служит решение системы:

При получим уравнение , равносильное исходному уравнению.

Если , то решение исходного уравнения сводится к решению уравнения , что равносильно .

Решение логарифмического уравнения, как правило, сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения.

17). Решить уравнение .

Решение: ,

уравнение имеет смысл, если

,

,

;

при - любое, кроме 1 и -1;

при ,

,

,

,

,

.

Ответ: при - любое, кроме 1 и -1;

при , ;

при корней нет.

18). Решить уравнение .

Решение: ,

уравнение имеет смысл, если ;

при 1+1 1, то есть уравнение корней не имеет;

если , то ,

,

,

,

, так как , то

,

, пусть , ,

тогда ,

или ,

- посторонний корень,

,

,

.

Ответ: если , , то корней нет;

если , , то .

19). Решить уравнение .

Решение: ,

уравнение имеет смысл, если ;

если , , то 0=0, уравнение имеет бесчисленное множество корней, - любое;

если , , то , уравнение корней не имеет;

, так как , то

,

, пусть , ,

, ,

, ,

не удовлетворяет условию ,

; .

Ответ: если , , то - любое;

если , , то корней нет;

если , , то .

20). Решить уравнение .

Решение: ,

уравнение имеет смысл, если , , , ;

пусть , тогда

,

или ,

если , , то

, ,

, ,

корни удовлетворяют условию ;

если , , то

, ,

корни удовлетворяют условию .

Ответ: если , , то и ;

если , , то и ;

если , , , то корней нет.

21). Решить уравнение .

Решение: ,

уравнение имеет смысл, если , , , ;